2019年度 聖光学院中学入試問題【理科】大問4解説

同じはかりを2つ使って、〔実験1〕~〔実験4〕をおこないました。
図1のように、これらのはかりの皿の上に半球形のゴムを固定して、
はかりの目盛りが0gを示すように調整しました。
このとき、床からはかりの皿までの高さは20cmでした。
あとの(1)~(9)の問いに答えなさい。

〔実験1〕
図2のように、重さ25gで長さ120cmの直方体の金属棒をはかりにのせたところ、
水平になって止まっていました。このとき、金属棒がゴムと接している位置は、
棒の左端から15cmと右端の15cmでした。

次に、皿の上に金属棒Aの上に、金属棒Aと同じものをぴったりと重ねていきました。
1本ずつ金属棒を増やしたところ、皿の上の金属棒の本数と床からはかりの皿までの
高さを調べたところ、次の表のようになりました。

(1)
1つのはかりだけを使い、そのはかりの皿に10gのおもりをのせると、
はかりの皿は何cm下がりますか。

〔実験2〕
図3のように、2つのはかりの間隔を狭くして、
重さ150gで長さ120cmの直方体の金属棒Bをのせたところ、
少し傾いて止まっていました。このとき、金属棒がゴムと接している位置は、
棒の左端から15cmと右端から30cmでした。

(2)
左のはかりが示す値は何gですか。

(3)
床から右のはかりの皿までの高さは何cmですか。

〔実験3〕
図4のように、重さ150gで長さ120cmの直方体の金属棒Bをのせ、
重さ50gのおもりを軽い糸でつり下げたところ、少し傾いて止まっていました。
このとき、金属棒がゴムと接している位置は、棒の左端から15cmと右端から30cmで、
おもりをつり下げた位置は、棒の左端から45cmでした。
(4)
右のはかりが示す値は何gですか。

(5)
床から右のはかりの皿までの高さは何cmですか。

(6)
右のはかりだけを左右どちらかに動かして、この金属棒を水平にしました。
このとき、右のはかりをどちらへ何cm動かしましたか。

〔実験4〕
図5のような、重さ150gで長さ60cmの直方体の金属棒Cと、
重さ120gで長さ60cmの直方体の金属棒Dを曲がらないようにしっかりとつないで、
まっすぐな金属棒Eを作りました。

図6のように、金属棒Eをのせたところ、少し傾いて止まっていました。
このとき、金属棒Eが左のはかりのゴムと接している位置は、棒の左端から30cmでした。

(7)
金属棒Eが右のはかりのゴムと接している位置が棒の右端から30cmのとき、
右のはかりが示す値は何gですか。

(8)
床から左のはかりの皿までの高さは何cmですか。

(9)
右のはかりだけを左右のどちらかに動かして、金属棒Eを水平にしました。
このとき、金属棒Eが右のはかりのゴムと接している位置は、棒の右端から何cmですか。
ただし、答えが割り切れない場合は、小数第2位を四捨五入して小数第1位まで答えなさい。


@解答@
今年度で最も点がとりにくい大問だが、最高点は98点だそうです(^^;
(1)

左右対称なので、重心(棒の真ん中)からの距離は互いに等しくなる。
おもりは、25÷2=12.5g
表をみると、0.5cmずつ下がっている。
〔12.5gの重さで0.5cm下がる〕
10gでは、0.5×10/12.5=0.4cm下がる。
ここを落とすとドミノ式で全滅リスクが高いので必答問題。

(2)

棒の重心からの距離を考える。
左:右=45:30=3:2
棒の重さ150gは逆比で、左:右=2:3に配分される。
左のはかりは、150×2/5=60g

(3)
右のはかりは、150-60=90g
(1)より、〔12.5gの重さで0.5cm下がる〕
0.5×90/12.5=3.6cm下がるので、
20-3.6=16.4cm

(4)

前問より、棒の重さ150gは左60g、右90g。
おもりの重さは、はかりとの距離の逆比。左:右=30g:20g
右のはかり…90+20=110g
(左のはかり…60+30=90g)

(5)
〔12.5gの重さで0.5cm下がる〕
0.5×110/12.5=4.4cm
20-4.4=15.6cm

(6)
重さがかかる場所を1つに統合してしまう。


〔棒+おもり〕の支点は、2つの間にくる。
おもり:棒=50:150=1:3
支点は、15cmを3:1に内分する点
15×3/4=11.25cm
緑の点に200gかかる。

左のはかりは動かさない。
左のはかり~支点との距離は、30+11.25=41.25cm
棒が水平になるということは、右のはかり~支点も等距離になる。
41.25-3.75-30=7.5cm
右のはかりを右に7.5cm移動させる

@別解@
モーメント計算でもいける。
〔おもり+棒〕=200g
棒が水平になるので、右のはかりが100gになればいい。
棒の重心から右のはかりまでの距離をxとおく。

おもりからの距離→左:右=30:15+x
重さは逆比。右のはかりは、50×30/(45+x)
棒の重心からの距離→左:右=45:x
重さは逆比。右のはかりは、150×45/(45+x)
50×30/(45+x)+150×45/(45+x)=100
1500+6750=100(45+x) ←両辺に×(45+x)
100x=3750
x=37.5

棒の重心と右のはかりとの距離は30cmだったので、
37.5-30=7.5cm右にズラせばいい。

(7)

2つの棒をくっつけているが、はかりは各々の真ん中(重心)にある。
左のはかりは左半分の棒の重さ150gがかかり、
右のはかりは右半分の棒の重さ120gがかかる。→120g
結局、棒を半分に切っても同じ関係になる。

(8)
左のはかりは150g。
〔12.5gの重さで0.5cm下がる〕
0.5×150/12.5=6cm
20-6=14cm

(9)
支点探し。
(7)より、左:右=150g:120g=⑤:④
支点からの距離は4:5

=60×4/9=80/3
棒を水平にする→左右のはかりが同じ重さがかかる→支点から等距離にある。
つまり、支点から右方向に④の場所に右のはかりを置く。
棒の右端~右のはかりの長さは、
120-30-④-④
=90-80/3×2=110/3=36.666…→36.7cm

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