問題ＰＤＦ
以下の問いに答えなさい。
数値が割りきれない場合は小数第２位を四捨五入して、小数第１位まで答えなさい。
問１
長さが84ｃｍの太さが一定でないバットを糸を使ってつるし、水平にすることを考えます。図１のようにするには540ｇの力が、図２のようにするには180ｇの力が必要でした。図３のように、糸１本だけでバットをつるすにはバットの左端から何ｃｍのところをつるせばよいですか。また、このとき糸を支える重さは何ｇですか。
ものをその一点支えることができるとき、その点を「重心」といいます。例えば、図３で糸を支えている位置（ばねばかりの位置）はバットの重心の真上になります。
一見複雑で重心の位置がわからないように見えるものも、様々な方法で調べることができます。その方法の１つに、「そのものを適当な部分に分け、その部分ごとの重心を考えることで、全体の重心を求める」というものがあります。重さが無視できるほど軽く、曲がらない真っ直ぐな棒をつかい、この方法で、いろいろなものの重心の位置を考えてみましょう。
問２
重さ10ｇのおもり10個を図４のように10ｃｍの棒２本に取り付け、
それを棒の外側の端が揃うように30ｃｍの棒につり下げます。
すべての棒が水平に保たれているとき、図中のア・イの長さはそれぞれ何ｃｍでしょうか。
実は図５のように10ｇのおもり10個を30ｃｍの棒に取り付けたとき、棒に糸をつけて水平に保てる〔 ウ 〕の長さは〔 イ 〕の長さに等しくなります。このように、一見複雑で重心の位置がわかりにくいものも、うまく分けてその部分ごとに重心を求めることで、全体の重心を求めることができます。
厚さが一定の変形しない板（横80ｃｍ×縦50ｃｍ）から図６のような形を切り取りました。図７は切り取られて残った部分を表しています。なお、板の大きさがわかりやすいように、縦横10ｃｍごとに破線が描かれています。また、板をつるしている糸はすべて同じ長さであるとします。
問３
切り取った板を図８のように60ｃｍの棒に、両端の位置が揃うように取り付けました。このとき、棒が水平に保たれるためには図中の〔 エ 〕の長さをいくらにすればよいでしょうか。なお、板を図９のように10ｃｍごとに切って棒に取り付けても、棒を水平に保つために支える位置は同じになります。
問４
切り取られて残った部分を図10のように80ｃｍの棒に、両端の位置がそろうように取り付けました。このとき、棒が水平に保たれるためには、図中の〔 オ 〕の長さをいくらにすればよいでしょうか。なお、切り取られる前の板の重心は、板の中心になります。
問５
図11のように厚さが一定の半径30ｃｍの円形の板から半径10ｃｍの円形の板が切り取られて残った部分があります。この板を図のように60ｃｍの棒に、２つの円の中心を結んだ線と棒が平行になるように、板が棒の幅にちょうどおさまるように取り付けました。このとき、棒が水平に保たれるためには、図中の〔 カ 〕の長さをいくらにすればよいでしょうか。
＠解説＠
問１：左端から…21ｃｍ、重さ…720ｇ
支点△をこのように設置する。
左側のばねばかりが重いということは、左側が支点との距離が近い。
重さの比が540：180＝③：①
支点からの距離は逆比で①：③
支点は左から、84×①/④＝21ｃｍ
糸を支える重さ＝バットの重さは、540＋180＝720ｇ
問２：ア…８ｃｍ、イ…16ｃｍ
モーメントの計算。【重さ×支点からの距離】が等しいと釣り合う。
ア：10×４/５＝8ｃｍ
10ｃｍの棒は30ｃｍの棒の左端から８ｃｍ、右端から６ｃｍの場所にぶら下がっている。
あいだの長さは、30－（８＋６）＝16ｃｍ
どちらも重り５個分と10ｃｍの棒で重さの合計が等しい。
支点は両者の中点にある。
イ：８＋16÷２＝16ｃｍ
問３：31ｃｍ
両サイドの青が左右対称なので、中央に⑩を集める。
①と④は距離が10ｃｍ。４：１に内分して④の左２ｃｍに⑤を集める。
最後に⑩と⑤のあいだの３ｃｍを１：２に内分。
支点は左から、30÷２＋１＝16ｃｍ
問４：39.4ｃｍ
左右の３列が左右対称。中央に⑳を集める。
④と①のあいだの10ｃｍを１：４に内分。④から右２ｃｍに⑤。
⑤と⑳のあいだの３ｃｍを４：１に内分。
支点は⑳から３×１/５＝0.6ｃｍ左にある。
80÷２－0.6＝39.4ｃｍ
問５：31.25ｃｍ
円を正方形に置き換えてみる。
切り取られた小さな正方形と全体の大きな正方形は相似形なので問題なし。
左右対称戦法。
20×20の正方形を右側につくる。
２つの正方形以外の面積を重さとみなして計算する。
60×60－20×20×２＝2800
周りの合計が2800で、これを中央に集める。
赤い正方形400の重心は中央から右10ｃｍのところ。
2800：400＝７：１
全体の重心は2800から、10×１/８＝1.25ｃｍ右側にある。
左から60÷２＋1.25＝31.25ｃｍ
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