2023年度 高知県公立高校入試問題過去問【数学】解説

平均19.2点(前年比;+3.0点)

満点:0人、0点:35人。
問題はコチラ→PDFファイル

大問1(小問集合)

(1)① 93.9%
-5+1-(-12)
=-5+1+12
=8

② 81.9%
(3x+y)/2-(x+y)/3
={3(3x+y)-2(x+y)}/6
=(9x+3y-2x-2y)/6
=(7x+y)/6

③ 53.9%
-ab2÷2/3a2b×(-4b)
=6b2/a

④ 40.3%
8/√12+√50/√6 ←√12で通分
=(8+√100)/√12
=18/(2√3)
=3√3

(2) 17.0%!
生徒全員の通学時間の平均=(生徒全員の通学時間の合計)÷(生徒全員の人数)
生徒全員の通学時間の合計=(自転車の通学時間合計)+(徒歩の通学時間合計)
=23a+7b分

生徒全員の通学時間の平均で等式
(23a+7b)分÷30人=14分
23a+7b=420
7b=-23a+420
b=-23/7a+60

(3) 7.7%!!
平行四辺形になるための条件。
①2組の対辺が平行(平行四辺形の定義)
②2組の対辺が等しい
③2組の対角が等しい
④対角線がおのおのの中点で交わる
⑤1組の対辺が平行、かつ長さが等しい

ア:4つの角がすべて90°→③に適合。〇
イ:1組の対辺が平行、もう1組の対辺が等しい→⑤に適合しない。×
ウ:対角線が直交する→④に適合しない。×
エ:対角線がそれぞれの中点で交わる→④〇
ア・エ

(4) 32.4%!
8a2b-18b ←共通因数2b
=2b(4a2-9)
=2b(2a+3)(2a-3)

(5) 35.0%
3x+2y+16=0
3x+2y=-16 …①
2x-y+6=0
2x-y=-6 …②

①+②×2をすると、7x=-28
x=-4
②に代入、y=-2

ax+y+10=0に(x、y)=(-4、-2)を代入。
-4a-2+10=0
a=2

(6) 64.7%
ネジレの位置→延長しても交わらない、かつ平行でもない。
辺CF、辺DF、辺EF

(7) 57.0%(部分点0.5%)
B中学のデータを昇順に並び替える。
【2・2・3・4・4・6・7・8・9・10】
最小値2点、最大値10点。
10試合の中央値は5番目と6番目の平均で5点。
第1四分位数は下位5つの真ん中、下から3番目→3点。
第3四分位数は上位5つの真ん中、上から3番目→8点。

(8) 40.3%(部分点0.5%)

∠OCP=45°→OとCの位置関係から、PはCの左上方向にある。
90÷2=45°から、①Cを通る垂線、②角の二等分線をひき、②とOBとのPになる。

大問2(方程式)

(1) 74.5%

畑の区域を右下へ寄せる。
畑の縦は14-xm、横は18-xm。

ア…14-x、イ…18-x

(2) 58.1%

りくの考えは十字の道の縦と横をそのまま求め、交差するx2をあとでひく。
縦方向の道は青の長方形…14xm2
横方向の道は赤の長方形…18xm2
ウ…14x、エ…18x

(3)X 30.5%!
ゆうの計算式がわかりやすい。
(14-x)(18-x)=192
252-14x-18x+x2=192

2-32x+60=0

Y 20.4%!(部分点9.3%、無答46.7%)
答案では途中経過を書く。
2-32x+60
=(x-2)(x-30)=0
長方形の縦の長さが14mなので、0<x<14
x=2

道幅を2mにすればいい。


大問3(確率)

(1) 56.5%
1回目はA→B、2回目はB→A。
最初のAは6個だから、-1すれば5個になる
→Aから出る数が、Aに入る数より1個多い。
すなわち、(1回目の出目;Aから出る数)-(2回目の出目;Aに入る数)=1になればいい。
(1回目、2回目)=(2、1)(3、2)(4、3)(5、4)(6、5)の5通り。
全体は6×6=36通りだから、確率は
5/36。

(2) 32.6%!
初期状態がA6個、B5個と、ギリギリA>Bの状態である。
A>Bを維持するには1回目=2回目(A6個のまま)か、1回目<2回目(A7個以上)のいずれか
すなわち、1回目≦2回目

1回目=2回目(同じ出目)は1~6の6通り。
1回目>2回目と1回目<2回目は同じ場合の数だから、
1回目<2回目は、(36-6)÷2=15通り
1回目≦2回目となる組み合わせは、6+15=21通り
確率は21/36=
7/12

大問4(数量変化)

(1) 55.7%
蛇口pを開けるとP側の水面が上昇。
しばらくすると、水は仕切りを越えてQ側に移る。
水面の高さは上昇→15cmを維持。(アかイ)
水槽が満タンになる時間は、(20×20×25)÷100=100秒だから
イ。

@別解@

選択肢のグラフでは、高さ15cmまでが満たされる時間は60秒後しかない。
水が入る量は一定だから、かかる時間の比も一定。
高さ15cmまでの時間と高さ25cmまでの時間の比は、15:25=
水槽が満タンになる時間は、60×/=100秒後→イ

(2)① 8.5%!!

蛇口qの水量が多いので、先にQ側が高さ15cmとなる時間を求める
高さの変化率(=水量の比)は、P:Q=100:300=1:3
時間は逆比で、P:Q=③:①
前問のグラフよりP側で高さ15cmに達する時間は30秒だから、Q側では
30×①/③=10秒
10秒後の様子は上図を参照。P側の水面の高さは、15×1/3=5cm

残りの2秒間で、(100+300)×2=800cm3の水がP側に追加されるので、
12秒後のP側の高さは、5cm+800cm3÷(20×10)cm2=9cm

y=9

@別解@

先にQ側が埋まってから、P側に水が流れ込む。
12秒後には、(100+300)×12=4800cm3の水が入り、
PとQの底面積は10×20=200cm2で同じ
Qの真上にPを乗せるイメージで、Q→Pの順で水が埋まっていったと仮定すれば、
高さは4800÷200=24cm、Q:15cmのあとでP:9cmが埋まる。

② 12.7%!
先ほどの通り、10秒後にQからPへ水が入る。
(1)蛇口pだけでは100cm3ずつ、(2)蛇口qも開けると400cm3ずつ水が入る。
変化率は4倍に上がるから、時間は1/4倍になる
すなわち、仕切りの高さ15cmまで満たされる時間は60÷4=15秒後
水槽が満タンになる時間は100÷4=25秒後

高さの変化率はp:q=
0~10秒までは蛇口pだけだから、変化の割合は
10~15秒では蛇口qも追加するので、
15~25秒では蛇口はp+qだが底面積が2倍に広がるので、高さの変化率は半分に落ちる
÷2=
a=、b=、c=だから、変化の割合はa<c<b


大問5(関数)

(1) 78.5%
y=-1/3x2にx=3を代入。
y=-1/3×32=-3

(3、-3)

(2) 14.1%!

等積変形より△PBC=△ABCだから、△ABCを求めればいい
Bはy軸についてAと対称、Cはx軸についてAと対称→∠BAC=90°
BA=6、AC=12なので、6×12÷2=
36

(3) 4.5%!!

回転体は円錐台になる。
DがBAの中点であることから、相似比は小さい円錐:大きい円錐=1:2
体積比は相似比の3乗→小さい円錐:大きい円錐=(円錐台の体積比は
小さい円錐を倍すれば円錐台になる。
底面の半径DE=6、高さBD=3だから、6×6×π×3÷3×=252π

@別解@
●パップス・ギュルダンの定理●
回転体の体積=断面積×重心の移動距離

上の点をC’とすると、前問より断面積(△BAC’)は36。
重心Gは中線C’Dを2:1に内分する点。
Gと回転軸BAとの距離は、12×1/3=4
重心Gの移動距離は4×2×π=8π
パップス・ギュルダンの定理より、△BAC’の回転体の体積は36×8π=288π
これを×7/8倍すると252πになる。

大問6(平面図形)

(1) 1.9%!!(部分点19.6%、無答40.3%)

長方形の内角と折り返しから、∠DEF=∠EGH=90°
もう1つの等角をどうするか。
×=90°で調べようとしても、なかなかうまくいかない…。

長方形の対辺が平行である点から、どこかで錯角が使えないか
AD//BCの錯角で、∠ADE(××)=∠CED
折り返しで∠HEC=∠HEGなので、∠HEG=×
2角相等で、△DFE∽△EHG。

(2) 0.5%!!!

求めたいのは△DFE:△DHGだが、先ほどの△DFE:△EHGを足がかりにする。
折り返し図形は合同。△DFE:△EHG=△DFA:△EHC
AD=15cmなので、これに対応するECの長さがわかれば面積比がでる

ECを1辺とする△DECに着目する。
折り返しでAD=ED=15cm
△DECで三平方→辺の比は3:4:5で、EC=12cm

△DFAと△EHCの相似比は、15:12=5:4
面積比は相似比の2乗、△DFA:△EHC=△DFE:△EHG=㉕:⑯

折り返しで、EC=EG=12cm
GD=15-12=3cm
△EHG:△DHG=EG:GD=4:1なので、△DHG=⑯÷4=④

よって、△DFEの面積は△DHGの25/4倍。


平均4割を切るが、得点分布のグラフが全体的に右へ移動している。
大問1
ここだけで22点と44%も配点がある。死守しよう。
(1)④解説では√12で通分したが、1個ずつ有理化でもOK。
(2)全体の平均はよくある形式だが、序盤の文字式では辛かったか。
(3)ここはもう少しできて欲しかったナ( ˙ω˙ )
(4)因数分解の初手は共通因数探し。つまづきたくない。
(5)y=ax+bに変形しても良いが、そのまま連立の加減法がいい。
(8)最初にPの位置を大雑把に掴もう。
大問2
(2)難しく考えない。-x2の意味もヒントになる。
(3)方程式をそのまま解けばよい。短い辺の長さからxの条件を絞る。
(1)がわかれば正解しやすいと思うのだが…。
大問3
表で調べるのが堅実。
計算で求めるなら、先の解説の流れになる。
大問4
(1)ここは間違いたくない。
(2)大問3より調べやすいと思うのだが…。
先にQ側が埋まる10秒後の様子を調べ、残り2秒でPはどれほど高くなるか。
(3)bが最も大きい。aとcの大小関係で悩むか。
きちんと理由を説明できるようにしたい。
大問5
(2)問題文がもろに等積変形。直接、△PBCを求めてはならない!
7人中1人ではなく3人は正解を!
(3)回転体の体積は他県でもよく見かける。数値も複雑ではない。
大問6
正答率がアウアウ(;^ω^)
(1)直角の指摘で部分点はもらおう。
もう1つの等角はセットで錯角移動するから見えづらい。
(2)問題は良かったと思う。
前問の相似の面積比を調べる。長方形の辺に接する△DFA:△EHCに置き換える。
ECを求めるうえで△DCEへの着目は必須。
折り返しの等辺からEG:GDが求まる。
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