2024年度 栃木県公立高校入試問題過去問【数学】解説

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大問1(小問集合)

(1)
(-4)×(-3)
=12

(2)
√28+√7
=2√7+√7
=3√7

(3)
絶対値…数直線上で原点0からの距離。
絶対値が3より小さい⇒-2、-1、0、1、2の5個。
(*-3、3は含めない)

(4)
2+5x+6
=(x+3)(x+2)=0
x=-3、-2

(5)
反比例はxとyの積が比例定数aで一定。
a=-3×2=-6

(6)
半径は2cmで共通→中心角の比で考える
円周:扇形の弧=360°:40°=9:1
扇形の弧の長さは、円周の長さの1/9倍。

(7)
球の体積V=4/3πr3
4/3π×63=288πcm3

(8)
度数が最も多い階級→85~100回の7人
7/20=35/100=0.35

大問2(小問集合2)

(1)
小数第1位を四捨五入して29となる範囲を求める。
28.5から29になり、29.5から30になる。
28.5≦a<29.5

(2)
答案では走る距離をxm、歩く距離をymとして連立方程式をつくり、途中の計算も書く。
距離で等式。
x+y=400 …①
時間で等式。
x/300+y/60=2 …②

②を300倍して、x+5y=600 …③
③-①をすると、4y=200
y=50
①に代入、x+50=400
x=350
走る距離…350m、歩く距離…50m

(3)
いつも2になる→定数項2だけを残す。
—–
2+(n+2)2-2(n+1)2
=n2+n2+4n+4-2n2-4n-2
=2
したがって、連続する3つの自然数で、最も小さい数の2乗と最も大きい数の2乗の和から、
中央の数の2乗の2倍をひくと、つねに2となる。

@余談@

平方数を図形で描くと正方形。
連続する3つの自然数の平方数を小さい順に小・中・大の正方形で表す。
大+小-中×2
=(大-中
)+(小-中)
=(大-中)-(中-小)
つまり、(大-中)のL字と(中-小)のL字の差が2になるはずである。

このように相殺すると2つのL字の差は2。


大問3(平面図形)

(1)

『2辺AB・ACから等距離にある』→∠BACの二等分線
これとBCとの交点がP。

(2)①
△ADCは内角から直角二等辺三角形
辺の比は1:1:√2→AD=5√2cm



DEは底辺をABとみたときの△ABDの高さにあたる。
△ABCで三平方→AB=13cm(辺の比が5:12:13の直角三角形)
△ABDの面積を2通りで示すと、
【BD×AC÷2=AB×DE÷2
7×5=13×DE
DE=7×5÷13=35/13cm

(3)
△ABC≡△DCBの証明。

共通辺BC。
弧ABの円周角→AD//BCの錯角で、∠ACB=∠DBC(
弧ADの円周角で、∠ABD=∠ACD(×
よって、∠ABC=∠DCB(×
1辺と両端角が等しいので合同。

大問4(データの活用&確率)

(1)①
25~30分の階級値→27.5分



ヒストグラムを俯瞰すると、データが左に寄っている
この時点で中央値が右に寄るア・イが消える。
残りのウ・エで異なる第3四分位数(Q3)に着目する。
35人の中央値は18番目。Q3は上位17人の真ん中、上から9番目。
15~20分の階級に含まれるのでウ。

(2)①
Aは5通り、Bは残りの4通り。
5×4=20通り


今度はAが玉を戻すので、全体は5×5=25通り
7以下より8以上の方が少ないので、余事象から攻める。
8以上の組合わせは(A、B)=(3、5)(4、4~5)(5、3~5)の6通り。
確率は、1-6/25=19/25

大問5(関数&数量変化)

(1)①
y=-x2について、
x=0のとき、最大値y=0
x=-3のとき、最小値y=-9
-9≦y≦0



y=ax2のaの絶対値を大きくすると、グラフの開きは小さくなる
座標をaで示すと、A(2、4a)C(-2、4a)
4aの値が大きくなるから、A座標は上にあがる。
ADはより急になるので傾きは大きくなる。
しかし、ACの長さは2-(-2)=4で一定である。
①…ア、②…ウ


答案では途中の計算も書く。

必要な長さは上図の通り。
△OABの面積は、(4a+4)×2÷2=4a+4
△OCDの面積は、3×4a÷2=6a
これらが等積なので、4a+4=6a
a=2


(2)①

x=4のとき、y=2×4=8
x=7のとき、y=2×3=6
①…8、②…6


長方形ABCDが縦長になる。

0≦x≦2、高さ4cmずつ中に入る。
2≦x≦3、面積は一定。
3≦x≦5、高さ1cmずつ外に出る。
5≦x≦6、一定
6≦x≦8、高さ3cmずつ外に出る。
一定が2ヵ所あるエ。


答案では途中の計算も書く。

x=3のとき、グラフからy=12とわかる。
再びy=12になるのは6≦x≦7のとき。
この直線の式を求め、y=12を代入すれば求めたいxがでる。

x=6のとき、y=4×4-3×1=13
x=7のとき、y=3×3=9
(6、13)→(7、9)
右に1、下に4だから、傾きは-4。
y=-4x+bに(7、9)を代入すると、
9=-28+b
b=37

最後に、y=-4x+37にy=12を代入。
12=-4x+37
x=25/4
25/4秒後

@余談@

x=6のとき、y=13だったので、重なりをあと1cm2減らせばy=12になる。
減少すべき長方形の横の長さは、1÷4=1/4cm
よって、6+1/4=25/4秒後

大問6(文字式)

(1)
92÷4=18列…2人
余りの2人は次の列→19列

(2)
●新幹線●
5×24=120人
最後の列が5人フルで座って120人。
最後の列が1~4人欠ける場合もある→範囲は116~120人
(*115人だと23列になってしまう)
●タクシー●
4×29=116人
最後のタクシーが1~3人欠ける場合もある→範囲は113~116人
(*112人だと28台になってしまう)
範囲が重複する116人。

(3)
新幹線の列をnとする。
最終列はa人(1~5の自然数)、それ以外のn-1列は5人ずつ座る
生徒の人数は、5(n-1)+a人(①)

タクシーの台数はn+10台。
タクシーの最後はb人(1~4の自然数)、それ以外の(n+10)-1=n+9台は4人ずつ座る
生徒の人数は、4(n+9)+b人
生徒の人数で等式を立て、nについて解く。
5(n-1)+a=4(n+9)+b
5n-5+a=4n+36+b
n=41-a+b(②)

いったん情報を整理。
新幹線の列がn、a=1~5の自然数、b=1~4の自然数。
生徒の人数を最も少なくする→新幹線の列nが最も小さい
n=41-a+bの値が最も小さくなるのはa=5、b=1のとき。
n=41-5+1=37
生徒の人数は5(n-1)+aにn=37、a=5を代入する。
5×(37-1)+5=185人(③)
(*4(n+9)+bにn=37、b=1を代入してもいい)
①…5(n-1)、②…41-a+b、③…185


大問1
配点16点。点を稼ぎたい。
(6)中心角40°の扇形は9分の1円である。
大問2
(1)小4で概数を習うが、それでも苦手な人はいる。
〇.5が変わり目。含むか含まないかは、実際に四捨五入して確かめればいい。
(3)結論部分も書く必要がある。
大問3
(2)②DEはどのような線分か。余力があれば5:12:13も覚えておきたい。
(3)四角形ABCDは左右対称の等脚台形。
共通辺から両端角に狙いをしぼる。
大問4
(1)②いきなり四分位数を求めるのではなく、全体を見よう。
(2)②2人で合計8以上→平均で4以上。余事象が少ないと判断する。
大問5
(1)②グラフの開きが小さくなっても、AC間の距離は変わらない!
(2)②長方形の向きに注意して再度調べる。等積が2ヵ所ある。
③差がつく問題。直線の式を求めるには、x=6、7のときのyの値を調べる。
大問6
(2)手前の列までフルに座らせて+1~4をするか。
全ての列をフルに座らせて-1~4をするか。
(3)文字式の読解問題。
なかなか見ない形式なので苦戦する人は多い。
情報や手順を丁寧に拾うこと。わからなくなったら次に進まない。
①a、bは最後の人数。n-1までフルに座る。
②nについて解く。aを用いた新幹線の式とbを用いたタクシーの式は生徒の人数で等式。
③a、bの値は幅があったので、これらを導いた式から確定する。
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