2023年度　大分県公立高校入試問題過去問【数学】解説

平均29.6点（前年比；＋2.3点）

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大問１（小問集合）

（１）①　96.9％
－５＋８
＝３

②　82.9％
６－（－３）²×２
＝６－９×２
＝－12

③　81.4％
（ｘ＋５ｙ）/８＋（ｘ－ｙ）/２
＝｛（ｘ＋５ｙ）＋４（ｘ－ｙ）｝/８
＝（ｘ＋５ｙ＋４ｘ－４ｙ）/８
＝（５ｘ＋ｙ）/８

④　64.3％
（４ｘ²ｙ＋ｘｙ³）÷ｘｙ
＝４ｘ²ｙ÷ｘｙ＋ｘｙ³÷ｘｙ
＝４ｘ＋ｙ²

⑤　75.9％
√６×√２＋３/√３
＝２√３＋√３
＝３√３

（２）　75.1％
ｘ²－６ｘ－16
＝（ｘ＋２）（ｘ－８）＝０
ｘ＝－２、８

（３）　54.9％
５＜√(6a)＜７　←すべて２乗
25＜６ａ＜49
６の段で25より大きく、49より小さい数を調べる。
ａ＝５、６、７、８

（４）　30.8％！
ｘ＝－２のとき、ｙ＝－４
最小値ｙ＝－16のときのｘの値がａである。
－16＝－ｘ²
ｘ＝±４
－２≦ｘ≦ａだから、ｘ＝４→ａ＝４

ｙ＝－ｘ²は上に凸。
－２≦ｘ≦４は原点を含むので、ｘ＝０のとき、最大値ｙ＝０
ａ＝４、ｂ＝０

（５）　55.8％
５×５×π×144/360
＝10πｃｍ²
（*144は12の平方数）

（６）２点―35.0％、１点―38.4％

①『円は直線ℓ上でＡで接する』→接線と半径は直交→Ａを通る垂線
②『円はＢを通る』→接点Ａも通る→ＡとＢは同一円周上にある→ＡＢの垂直二等分線
これらの交点が中心Ｏである。

大問２（関数）

（１）　76.7％
ｙ＝ａｘ²に（ｘ、ｙ）＝（－４、４）を代入。
４＝16ａ
ａ＝１/４

（２）　56.2％
ｙ＝１/４ｘ²にｘ＝２を代入→ｙ＝１
Ａ（－４、４）→Ｂ（２、１）
右に６、下に３だから、傾きは－１/２。
切片はＢから左に２、上に１移動して、１＋１＝２
ｙ＝－１/２ｘ＋２

（３）①　36.6％
ｙ＝１/４ｘ²や直線ＡＢ上の格子点も数える。

ｙ＝－１/２ｘ＋２上の格子点を調べる。
Ａ（－４、４）から右に２、下に１移動していくと、
（－２、３）→（０、２）→Ｂ（２、１）

ｙ＝１/４ｘ²にｘ＝－２を代入すると、ｙ＝１
ｘ＝－２の格子点は、ｙ＝１～３の３個。

②　4.6％!!

ｘ座標が奇数の格子点を追加。
格子点は計12個あるので、６個ずつに分ける。
傾き９/２は右に２、上に９で急勾配。およその見当をつけると上図のあたりか。

点Ａと点Ｂは違うグループに入るので除外。
（１、１）を１つ下にズラして（１、０）にすると、格子点の並びが点対称になる。
（*ズラしても右半分グループにいるとわかるので影響なし）
対応する点を結んだ２直線の交点が回転の中心であり、
ｙ＝９/２ｘ＋ｂが回転の中心を通れば格子点を等しく分ける。

回転の中心のｘ座標は－１、ｙ座標は１と２の間で３/２。
条件からｙ＝９/２ｘ＋ｂは格子点を通らないので条件適合。
傾き９/２だから、（１、３/２）から右に１、上に９/２移動して、
切片ｂは３/２＋９/２＝６
ｂが整数である条件クリア。
ｂ＝６

大問３（確率＆データの活用）

（１）①　82.6％
最初、一番上のカードはＡ。
作業を６回繰り返すと、一番上はＢ→Ｃ→Ｄ→Ｅ→Ａ→Ｂ。
Ｂ

②　42.7％
【Ｂ→Ｃ→Ｄ→Ｅ→Ａ→…】がループする。
一番上がＣになるには、和が２、７、12。
●和が２→（１、１）
●和が７→（１、６）（２、５）（３、４）とこれらの逆。
●和が12→（６、６）
合計８通り。
全体は６×６＝36通りだから、確率は８/36＝２/９

（２）①　65.2％
四分位範囲（箱の長さ）＝第３四分位数－第１四分位数
14－８＝６本

②ア　71.4％
９月の第３四分位数は14本。

イ　34.0％
15本以上のフリースローを成功した割合が増えた理由を述べる。
９月の第３四分位数は14本→40人中、上から10番目と11番目の平均が14本。
15本以上は多くても25％（10人）しかない。
一方、３月の中央値（第２四分位数）は15本→上から20番目と21番目の平均が15本。
15本以上は少なくても50％（20人）はいる。

大問４（文章題）

（１）ア…62.3％、イ…51.5％、ウ…31.4％！、エ…27.4％！
13：15～13：45の30分間はゲート１つ。
１分あたり５人通過するから、30分間では５×30＝150人（ア）

今度はゲートを通過した人数（入場した人数）を求める。
最初は45人が並んでいた。
13：15～14：15の60分間では、１分あたり12人ずつ列に入る。
ゲートを通過した人数は、45＋12×60＝765人（イ）

（イ）がゲートを通過した人数。
（ア）がゲートが３つになる13：45までに通過した人数。
13：45以降に通過した人数は、765－150＝615人（ウ）

ゲートが３つになる13：45以降は、１分あたり15人ずつゲートを通過。
615÷15＝41分で入場が完了する。
その時刻は、13：45＋0：41＝13：86＝14：26（エ）
ア…150、イ…765、ウ…615、エ…14時26分

（２）　10.1％！

入場完了時刻を14：26から14：20に変更する。
他に変わるのは条件４『ゲートを３つに増やす時刻』だけ。
『最初は１分５人ずつ、途中で15人ずつ通過する、合計765人通過する』は変わらない。

13：15～14：20は65分間。
ゲート１つの時間をｘ分とすると、ゲート３つの時間は65－ｘ分。
人数で等式を立てると、
５ｘ＋15（65－ｘ）＝765
10ｘ＝210
ｘ＝21
13：15の21分後である13時36分。

＠別解＠
入場完了時刻を６分前に早めたい。
この６分間では、15×６＝90人がゲートを通過する。

ゲートを３つに増やす13：45より前に90人を押し込む。
１分あたり押し込める人数は15－５＝10人だから、90÷10＝９分
13：45の９分前である13：36にゲートを増やせばいい。

大問５（空間図形）

（１）　66.8％
円柱の体積、４×４×π×10＝160πｃｍ³
*πをつけ忘れた誤答あり。

（２）①　22.4％！

水面の高さは円の直径４ｃｍ。
水の体積は、高さ４ｃｍの円柱から半径２ｃｍの球を引く。
４×４×π×４－４/３π×２³＝160/３πｃｍ³
*球の体積を引き忘れた誤答。

②高さ…12.6％！、体積…1.2％!!

正面からみた図を作成する。
円の中心から垂線をひき、半径同士を接点で結んで直線にする。
？の長さがわかればいい。
斜辺を５ｃｍとする直角三角形の高さが知りたい。

今度は横方向を調べると、底辺は８－２－３＝３ｃｍ
３：４：５の直角三角形→？＝４ｃｍ
水面の高さは、２＋４＋３＝９ｃｍ

前問の状態から水を追加して、水面の高さは５ｃｍ上昇した。
追加した水の体積は、高さ５ｃｍの円柱から半径３ｃｍの球を引けばいい。（*詳細は後述）
４×４×π×５－４/３π×３³＝44πｃｍ³
高さ…９ｃｍ、体積…44πｃｍ³

＠詳細＠
*式で書くと以下のようになります。
①の水の体積＝円柱４ｃｍ－球２ｃｍ
②の水の体積＝円柱９ｃｍ－球２ｃｍ－球３ｃｍ

追加した水の体積＝②の水－①の水
＝（円柱９ｃｍ－球２ｃｍ－球３ｃｍ）－（円柱４ｃｍ－球２ｃｍ）
＝円柱９ｃｍ－球２ｃｍ－球３ｃｍ－円柱４ｃｍ＋球２ｃｍ
＝円柱５ｃｍ－球３ｃｍ

大問６（平面図形）

（１）３点―36.2％、２点―5.8％、１点―15.4％、無答―23.4％
△ＧＦＨ∽△ＥＣＨの証明。

わかりやすい。
対頂角と正三角形の内角→２角相等で∽

（２）①　28.1％！

折り返しから、ＡＥ＝ＦＥ＝11ｃｍ
ＥＣ＝16－11＝５ｃｍ
先ほどの相似より、ＧＦ：ＥＣ＝ＦＨ：ＣＨ＝１：２だから、
ＦＧ＝５÷２＝５/２ｃｍ

②　6.6％!!
前問の∽から、ＧＨ＝７÷２＝3.5
等角を調べていくと、△ＧＦＨ∽△ＥＣＨ∽ＧＢＤ
辺の比は５：７：８→ＢＧ＝⑤、ＤＢ＝⑧、ＤＧ＝⑦とする。

ＢＧ（⑤）＝16－（3.5＋８）＝4.5ｃｍ
〇の数字を0.9倍すると長さになるので、ＤＢ＝⑧×0.9＝7.2ｃｍ
ＤＧ＝⑦×0.9＝6.3ｃｍ
ＤＢ：ＤＦ＝7.2：（6.3＋2.5）＝９：11