2023年度 静岡県公立高校入試過去問【数学】解説

平均26.15点(前年比;+1.51点)
問題はコチラ→PDFファイル

大問1(計算)

(1)ア
-8+27÷(-9)

=-8-3
=-11


(-6a)2×9b÷12ab
=36a2×9b÷12ab
=27a


(2x+y)/3-(x+5y)/7
={7(2x+y)-3(x+5y)}/21
=(14x+7y-3x-15y)/21
=(11x-8y)/21


√45+10/√5
=3√5+2√5
=5√5

(2)
2-25b2
=(a+5b)(a-5b) ←ここで代入
=(41+5×8)(41-5×8)
=81×1
=81

(3)
2+7x=2x+24
2+5x-24
=(x+8)(x-3)=0
x=-8、3

大問2(小問集合)

(1)

①Aを通る垂線。
②『2辺OX、OYから等距離にある』→∠YOXの二等分線
2本の直線の交点がP。

(2)
『p(仮定)ならばq(結論)』(p⇒q)という命題がだとする。
(真…正しい⇔偽…誤り)
pとqをひっくり返した命題『qならばp』(q⇒p)をといい、逆は必ずしも真ではない

命題;【aもbも正の数ならば、a+bは正の数である】
逆は仮定と結論をひっくり返して、『a+bが正の数ならば、aもbも正の数である

a=-1、b=3の場合、a+b=2であるが、aが負の数なので偽。

逆…a+bが正の数ならば、aもbも正の数である。
反例…a=-1、b=3のときは成り立たない。

@逆・裏・対偶@

『pであるならば、qである』という命題に対して、
『pでないならば、qではない』をという。(pやqの上に ̄がつく)
裏も必ずしも真とは限らない
『qでないならば、pではない』を対偶といい、
元の命題(p⇒q)が真ならば、対偶は必ず真である

たとえば、【4の倍数であれば、2の倍数である】という真の命題に対して、
裏である【4の倍数でなければ、2の倍数でない】は反例があるので偽である。
(6や10は4の倍数でないが2の倍数である)
一方で、対偶【2の倍数でなければ、4の倍数でない】は真である。

論理形式は数式だけではなく、日本語の文章でも使えます。

ヒントとしては、A~Dの命題とその対偶をとって論理をつなげていきます。
答えが知りたい方は以下のリンク先をどうぞ。

Q21・正解

(3)
全体の取り出し方は、4×5=20通り
Ⅰで取り出したカードで場合分けする。
●2を取り出す→6・8・10
●3を取り出す→6・9
●4を取り出す→8
●5を取り出す→10
計7通りだから、確率は7/20。


大問3(データの活用)

(1)
値を昇順に並べると、【7・10・12・16・23・25・26・29・32・34】
(あ)は第2四分位数(Q2;中央値)で、5番目の23と6番目の25の平均24m。
四分位範囲=第3四分位数(Q3)-第1四分位数(Q1)
Q1は下位5つの真ん中、下から3番目の12m。
Q3は上位5つの真ん中、上から3番目の29m。
Q3-Q1=29-12=17m

(あ)…24 四分位範囲…17

(2)
Q3が29m→32mに増加している。
11人のQ2は6番目。Q3は上位5人の真ん中、上から3番目が32mである
aが32m以上でなければ、上から3番目が32mにならない。
また、最大値は34mで変わらないから、34m以下である。

a=32、33、34

大問4(方程式)

集めたボールペンの本数をx本、鉛筆を2x本とする
団体Sへ送った本数…2x×0.8

団体Tへ送った本数…2x×0.2+0.96x本

TはSより18本少なかったので、
2x×0.8-18=2x×0.2+0.96x ←100倍
160x-1800=40x+96x
24x=1800
x=75
2x=150

鉛筆…150本、ボールペン…75本

大問5(空間図形)

(1)

左から円柱・正四角錘・円錐・球・正四面体。

(2)
3×2×π×110/360
=11/6πcm

(3)
大問7まであるので、迷ったら後回し推奨。

DはABの中点→EはOBの中点
正面から見た図は1辺6cmの正三角形→△OBDは1辺3cmの正三角形
△OEDは辺の比が1:2:√3で、DE=3√3/2cm
同様に、△OEFも1:2:√3の直角三角形である。
 
Eから垂線をおろし、OFとの交点をHとする。
△OHE∽△OEFから、△OHEの辺の比も1:2:√3
HE=3/2×√3/2=3√3/4cm

OF⊥EH→OF⊥面DHE→OF⊥DH
△ODFの高さがDHにあたる
DE:HE=3√3/2:3√3/4=
△DHEで三平方→DH=〇√5
DH=3√3/4×〇√5=3√15/4cm
したがって、△ODFの面積は、3×3√15/4÷2=9√15/8cm2


大問6(関数)

(1)
y=bx2(b<0)にC(4、-4)を代入。
-4=16b
b=-1/4

(2)

ア:aを大きくすると、グラフの開きは小さくなる。〇
イ:aを小さくするとAとBが近づくので、y座標の差も小さくなる。×
ウ:aを大きくするとBがy軸上のOEに近づき、△OBEの高さが減少→面積は小さくなる。×
エ:aを小さくすると、OBの傾きは緩やかになり、小さくなる。〇
オ:aを大きくすると、Fが上に向かう。CFの長さは長くなる。×
ア・エ

(3)
答案では求める過程も記述する。

まずは座標を確定していく。
Dはy軸についてCと対称。D(-4、-4)
y=ax2にそれぞれのx座標を代入する。
A(-3、9a)B(2、4a)F(4、16a)

A・G・Bのx座標の差から、AG:GB=④:①
内分点の公式から、Gのy座標は(9a×①+4a×④)/(④+①)=5a
(もしくは、AとBのy座標の差⑤=5a→①=aだからB座標にaを足して5a)
G(1、5a)

最後に、DGとGFの傾きで等式を立てる
{5a-(-4)}/{1-(-4)}=(16a-5a)/(4-1)
これを解いて、a=3/10

大問7(平面図形)

(1)
△BCG∽△ECFを証明。

1つは弧CDとAD//EFの同位角。
もう1つは二等辺三角形の底角が集まるCに注目する

二等辺三角形ABCの底角を×とする。
弧BCの円周角から∠BAC=∠GDCとなり、二等辺三角形DGCの底角も×である
∠ACB=∠DCGから、あいだの角の∠ECGをひくと∠BCG=∠ECF()が導ける。
2角相等で∽。

(2)

GD=GC=4cm
EDの長さがわかれば、GEが求まる。

BG=6-4=2cm
前問の相似から、BG:GC=EF:FC=1:2
EF=1cm

∠DEF=とする。
AD//EFの錯角→弧ABの円周角で∠ACB=
前問の証明で触れたとおり、∠ACB=∠DCGだから二等辺GCDの底角につないで∠EDF=
△FEDは底角が等しい二等辺三角形。FD=1cm
△GCD∽△FEDより、ED=3×1/4=3/4cm
したがって、GE=4-3/4=
13/4cm


大問1
時間がないので、手早く処理したい。
大問2
(2)反例が1つでもあれば命題は偽となる。
大問3
(2)上から3番目を32mにする。
大問4
ここから手間のかかる設問が登場する。
高得点を狙うには、条件の把握に時間をかけすぎないようにしたい。
ボールペンの2倍が鉛筆なので、ボールペンをxとおくと式が立てやすい。
大問5
(3)正面と上から見た図で図形の特徴を理解する。
△OEDは正三角形の半分で、これを手前に倒すと△OEFになる。
数値がきれいではなく、処理も問われる。解説では分数の三平方を回避した。
大問6
(2)すべて選べなので完全解答式か。
おまけに、選択肢の並びが大→小→大→小→大(#^ω^)
(3)記述ゆえ時間がかかりやすい。
DG・GFが一直線上→DGとGFの傾きが等しい。
A、Bの座標と4:1からGの座標をaで示す。
大問7
(1)等しい角からあいだの角をひく。
記述すべき要素も多くて時間がかかり、実力差も出やすい。
(2)制限時間との戦いでシビア。
前問の等角から3つ目の小さい二等辺三角形が見つかる。
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