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大問１（計算）

（１）ア
－８＋27÷（－９）
＝－８－３
＝－11

イ
（－６ａ）²×９ｂ÷12ａｂ
＝36ａ²×９ｂ÷12ａｂ
＝27ａ

ウ
（２ｘ＋ｙ）/３－（ｘ＋５ｙ）/７
＝｛７（２ｘ＋ｙ）－３（ｘ＋５ｙ）｝/21
＝（14ｘ＋７ｙ－３ｘ－15ｙ）/21
＝（11ｘ－８ｙ）/21

エ
√45＋10/√５
＝３√５＋２√５
＝５√５

（２）
ａ²－25ｂ²
＝（ａ＋５ｂ）（ａ－５ｂ）　←ここで代入
＝（41＋５×８）（41－５×８）
＝81×１
＝81

（３）
ｘ²＋７ｘ＝２ｘ＋24
ｘ²＋５ｘ－24
＝（ｘ＋８）（ｘ－３）＝０
ｘ＝－８、３

大問２（小問集合）

（１）

①Ａを通る垂線。
②『２辺ＯＸ、ＯＹから等距離にある』→∠ＹＯＸの二等分線
２本の直線の交点がＰ。

（２）
『ｐ（仮定）ならばｑ（結論）』（ｐ⇒ｑ）という命題が真だとする。
（真…正しい⇔偽…誤り）
ｐとｑをひっくり返した命題『ｑならばｐ』（ｑ⇒ｐ）を逆といい、逆は必ずしも真ではない。

命題；【ａもｂも正の数ならば、ａ＋ｂは正の数である】
逆は仮定と結論をひっくり返して、『ａ＋ｂが正の数ならば、ａもｂも正の数である』
ａ＝－１、ｂ＝３の場合、ａ＋ｂ＝２であるが、ａが負の数なので偽。

逆…ａ＋ｂが正の数ならば、ａもｂも正の数である。
反例…ａ＝－１、ｂ＝３のときは成り立たない。

＠逆・裏・対偶＠

『ｐであるならば、ｑである』という命題に対して、
『ｐでないならば、ｑではない』を裏という。（ｐやｑの上に￣がつく）
裏も必ずしも真とは限らない。
『ｑでないならば、ｐではない』を対偶といい、
元の命題（ｐ⇒ｑ）が真ならば、対偶は必ず真である。

たとえば、【４の倍数であれば、２の倍数である】という真の命題に対して、
裏である【４の倍数でなければ、２の倍数でない】は反例があるので偽である。
（６や10は４の倍数でないが２の倍数である）
一方で、対偶【２の倍数でなければ、４の倍数でない】は真である。

論理形式は数式だけではなく、日本語の文章でも使えます。

ヒントとしては、Ａ～Ｄの命題とその対偶をとって論理をつなげていきます。
答えが知りたい方は以下のリンク先をどうぞ。

Ｑ２１・正解

（３）
全体の取り出し方は、４×５＝20通り
Ⅰで取り出したカードで場合分けする。
●２を取り出す→６・８・10
●３を取り出す→６・９
●４を取り出す→８
●５を取り出す→10
計７通りだから、確率は７/20。

大問３（資料問題）

（１）
値を昇順に並べると、【７・10・12・16・23・25・26・29・32・34】
（あ）は第２四分位数（Ｑ2；中央値）で、５番目の23と６番目の25の平均24ｍ。
四分位範囲＝第３四分位数（Ｑ3）－第１四分位数（Ｑ1）
Ｑ1は下位５つの真ん中、下から３番目の12ｍ。
Ｑ3は上位５つの真ん中、上から３番目の29ｍ。
Ｑ3－Ｑ1＝29－12＝17ｍ
（あ）…24　四分位範囲…17

（２）
Ｑ3が29ｍ→32ｍに増加している。
11人のＱ2は６番目。Ｑ3は上位５人の真ん中、上から３番目が32ｍである。
ａが32ｍ以上でなければ、上から３番目が32ｍにならない。
また、最大値は34ｍで変わらないから、34ｍ以下である。
ａ＝32、33、34

大問４（方程式）

集めたボールペンの本数をｘ本、鉛筆を２ｘ本とする。
団体Ｓへ送った本数…２ｘ×0.8本
団体Ｔへ送った本数…２ｘ×0.2＋0.96ｘ本

ＴはＳより18本少なかったので、
２ｘ×0.8－18＝２ｘ×0.2＋0.96ｘ　←100倍
160ｘ－1800＝40ｘ＋96ｘ
24ｘ＝1800
ｘ＝75
２ｘ＝150
鉛筆…150本、ボールペン…75本

大問５（空間図形）

（１）

左から円柱・正四角錘・円錐・球・正四面体。
ウ

（２）
３×２×π×110/360
＝11/６πｃｍ

（３）
大問７まであるので、迷ったら後回し推奨。

ＤはＡＢの中点→ＥはＯＢの中点。
正面から見た図は１辺６ｃｍの正三角形→△ＯＢＤは１辺３ｃｍの正三角形。
△ＯＥＤは辺の比が１：２：√３で、ＤＥ＝３√３/２ｃｍ
同様に、△ＯＥＦも１：２：√３の直角三角形である。
 
Ｅから垂線をおろし、ＯＦとの交点をＨとする。
△ＯＨＥ∽△ＯＥＦから、△ＯＨＥの辺の比も１：２：√３。
ＨＥ＝３/２×√３/２＝３√３/４ｃｍ

ＯＦ⊥ＥＨ→ＯＦ⊥面ＤＨＥ→ＯＦ⊥ＤＨ
△ＯＤＦの高さがＤＨにあたる。
ＤＥ：ＨＥ＝３√３/２：３√３/４＝②：①
△ＤＨＥで三平方→ＤＨ＝〇√５
ＤＨ＝３√３/４×〇√５＝３√15/４ｃｍ
したがって、△ＯＤＦの面積は、３×３√15/４÷２＝９√15/８ｃｍ²

大問６（関数）

（１）
ｙ＝ｂｘ²（ｂ＜０）にＣ（４、－４）を代入。
－４＝16ｂ
ｂ＝－１/４

（２）

ア：ａを大きくすると、グラフの開きは小さくなる。〇
イ：ａを小さくするとＡとＢが近づくので、ｙ座標の差も小さくなる。×
ウ：ａを大きくするとＢがｙ軸上のＯＥに近づき、△ＯＢＥの高さが減少→面積は小さくなる。×
エ：ａを小さくすると、ＯＢの傾きは緩やかになり、小さくなる。〇
オ：ａを大きくすると、Ｆが上に向かう。ＣＦの長さは長くなる。×
ア・エ

（３）
答案では求める過程も記述する。

まずは座標を確定していく。
Ｄはｙ軸についてＣと対称。Ｄ（－４、－４）
ｙ＝ａｘ²にそれぞれのｘ座標を代入する。
Ａ（－３、９ａ）Ｂ（２、４ａ）Ｆ（４、16ａ）

Ａ・Ｇ・Ｂのｘ座標の差から、ＡＧ：ＧＢ＝④：①
内分点の公式から、Ｇのｙ座標は（９ａ×①＋４ａ×④）/（④＋①）＝５ａ
（もしくは、ＡとＢのｙ座標の差⑤＝５ａ→①＝ａだからＢ座標にａを足して５ａ）
Ｇ（１、５ａ）

最後に、ＤＧとＧＦの傾きで等式を立てる。
｛５ａ－（－４）｝/｛１－（－４）｝＝（16ａ－５ａ）/（４－１）
これを解いて、ａ＝３/10

大問７（平面図形）

（１）
△ＢＣＧ∽△ＥＣＦを証明。

１つは弧ＣＤとＡＤ//ＥＦの同位角。
もう１つは二等辺三角形の底角が集まるＣに注目する。

二等辺三角形ＡＢＣの底角を×とする。
弧ＢＣの円周角から∠ＢＡＣ＝∠ＧＤＣとなり、二等辺三角形ＤＧＣの底角も×である。
∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＧから、あいだの角の∠ＥＣＧをひくと∠ＢＣＧ＝∠ＥＣＦ（▲）が導ける。
２角相等で∽。

（２）

ＧＤ＝ＧＣ＝４ｃｍ
ＥＤの長さがわかれば、ＧＥが求まる。

ＢＧ＝６－４＝２ｃｍ
前問の相似から、ＢＧ：ＧＣ＝ＥＦ：ＦＣ＝１：２
ＥＦ＝１ｃｍ

∠ＤＥＦ＝★とする。
ＡＤ//ＥＦの錯角→弧ＡＢの円周角で∠ＡＣＢ＝★
前問の証明で触れたとおり、∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＧだから二等辺ＧＣＤの底角につないで∠ＥＤＦ＝★
△ＦＥＤは底角が等しい二等辺三角形。ＦＤ＝１ｃｍ
△ＧＣＤ∽△ＦＥＤより、ＥＤ＝３×１/４＝３/４ｃｍ
したがって、ＧＥ＝４－３/４＝13/４ｃｍ