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2022年度・京都(中期)数学の解説はコチラ。
大問1(小問集合)
(1)
(-5)2-23÷4
=25-8÷4
=25-2
=23
(2)
3/2ab÷1/6ab2×(-a2b)
=-9a2
(3)
√6×√18-9/√27
=√6×(√6×√3)-9/(3√3)
=6√3-√3
=5√3
(4)
3x-(y+8)=12 …①
x-2y=0 …②
①を整理して、3x-y=20 …③
②を整理して、x=2y …④
④を③に代入すると、
3×2y-y=5y=20
y=4
④に放り込む。x=2×4=8
x=8、y=4
(5)
y=-7/3x+5
傾きが変化の割合。
*変化の割合=(yの増加量)÷(xの増加量)
一次関数の変化の割合は一定なので、
6×(-7/3)=-14
(6)
(x-y)2-49
=(x-y)2-72
=(x-y+7)(x-y-7)
(7)
4x2-4x-1=0
解の公式を適用。xの係数が偶数なのでb=2b’が使える。
x=(1±√2)/2
(8)
円錐の側面積である扇形の中心角は〔×半径/母線〕
円錐の側面積
=母線×母線×π×半径/母線
=母線×半径×π
これが上下で2つある。
5×3×π×2=30πcm2
(9)
平均点…(0×14+1×13+2×12+3×2+4×1)÷42=47÷42=47/42点
中央値(メジアン)…42人の中央値は21番目と22番目の平均で1点
最頻値(モード)…最も度数が大きい値で0点
ウ<イ<ア
大問2(確率)
(1)
●1で等しくなる
1を取り出す確率は2/5。
1を2連続で出す確率は、2/5×2/5=4/25
●3で等しくなる
同様。4/25。
●5で等しくなる
5の確率は1/5。
5の2連続は、1/5×1/5=1/25
同じ数が出る確率は、4/25+4/25+1/25=9/25
(2)
5個から2個を取り出す組み合わせは、5C2=10通り
aで場合分け。
●a=0
b=0だが、和が0はない。
●a=1
b=4=1+3
留意点はa=1なので、白玉は1つだけである。
(白1、黒3)(白3、黒1)の2通り。
●a=2
b=8=3+5
白玉は2つなので、(白3、白5)の1通り。
玉は2個しか取り出さないからa≧3はない。
計3通り。確率は3/10。
大問3(関数)
(1)
y=ax2にA(-3、2)を代入。
2=9a
a=2/9
(2)
y=2/9x2にx=6を代入してB(6、8)
A(-3、2)→B(6、8)
右に9、上に6だから、傾きは6/9=2/3
Aから右に3、上に2移動して、切片は2+2=4
y=2/3x+4
(3)
BC+CDの長さが最小⇒線対称
x軸についてCを対称移動させたC’とBを結び、x軸との交点がDとなる。
x座標の差から、C’D:DB=2:4=①:②
Dのx座標は、6×①/③=2
D(2、0)
高さはy=2/3x+4にx=2を放り込んでy=16/3
△BCDの面積は、6×16/3÷2=16
大問4(平面図形)
(1)
△ABD≡△ACEの証明。
正三角形の1辺より、AB=AC、AD=AE
∠BAD=60-∠CAD=∠CAE
2辺とあいだの角度が等しいので合同。
(2)
CE=BD=⑦
CFが〇いくつになるかわかればいい。CFを1辺とする三角形に注目。
なんとなく△ACFと△ECDが相似っぽい。
正三角形ABCの内角で、∠ACB=60°
前問の合同から、∠ACE=∠ABD=60°
∠ACF=∠ECD=120°だから、もう1個の等角さえ指摘できれば証明できる。
ここで∠ADE=∠ACE=60°に注目。
AEについて同じ側にあって、これらの角が等しいということは、
円周角定理の逆より4点A、D、C、Eは同一円周上にある。
弧DCに対する円周角より、∠DAC(FAC)=∠DECで2角相等。
やはり、△ACF∽△ECDであった。
AC=BC=⑨
AC:CF=EC:CDだから、
CF=⑨×2/7=〇18/7
EC:CF=⑦:〇18/7=49:18
@別解@
△CDF∽△BDAを経由してもいけます。
相似比は②:⑦なので、CF:BA=2:7
BA=BC=⑨から、CF=⑨×2/7=〇18/7と求まります。
大問5(空間図形)
(1)
△EIJは直角二等辺三角形。
辺の比は1:1:√2→IJ=2√2cm
(2)
DJとBIを延長、交点をOとする。
三角錘O―EIJ∽三角錘O―ABDで相似比は1:2。
OE=2√3cm
△ABDの辺の比は1:1:√2→BD=4√2cm
BDの中点をPとする。
直角二等辺ABDを2等分するAPの長さは、4√2÷2=2√2cm
△AOPで三平方→OP=2√14cm
最後に、△OBDから面積比で四角形BDJIを求める。
4√2×2√14÷2×③/④=6√7cm2
(3)
Kの位置を調べる。
Kは直線AGと四角形BDJIの交点。
直線AGを含む面AEGCで切り取るとKの位置が探りやすい。
四角形BDJIとACとの交点は先ほどのP。
四角形BDJIとEGとの交点をQとする。
PとQはそれぞれBDとIJの中点で、P・K・Qは一直線上にある。
AP=2√2cm
EG=BD=4√2cmでEQ=√2cmだから、QG=3√2cm
△APK∽△GQKより、PK:KQ=2√2:3√2=②:③
四角錘K―EFGHの高さは、2√3×③/⑤=6√3/5cm
体積は、4×4×6√3/5÷3=32√3/5cm3
大問6(整数)
(1)
長いすAをx脚、長いすBをy脚とすると、
2x+3y=20
係数の大きいyで場合分けをする。
2xと20は偶数だから、3yは偶数でなければならない→yは偶数
20÷3=6…2
6までの偶数の個数なので、6÷2=3個
長いすBが0個の場合も許されるから、
3+1=4通り
(2)
2x+3y=127
127÷3=42…1
2xは偶数、127は奇数だから、3yは奇数でなければならない→yは奇数
42以下(1~41)までの奇数の個数を求める。
(41+1)÷2=21通り
(3)
難問です:( ´ω` ):
数学上位層で暇を持て余した人たち向けの設問。
今まではnがわかってa通りを出した。
今度はa通りからnの最小値と最大値を求める。
つまり、処理過程を逆にさかのぼる。
nの値が偶数か奇数かで処理過程が異なるので、nの偶奇で場合分け。
◆nが偶数の場合
偶数である(1)n=20では、
20÷3=6…2(3の倍数の個数)→6÷2=3(6までの偶数の個数)→3+1=4(0を足す)
ただし、n=22を試してみると、
22÷3=7…1→7までの偶数=7以下の最大偶数6までの偶数の個数6÷2=3→3+1=4
÷3した商が奇数の場合は、それに-1した偶数までの偶数の個数である。
これを逆の手順でさかのぼると、
最初はa。
0を除外してa-1。
(a-1)×2=2a-2
÷3の商が偶数ならば2a-2だが、奇数ならば+1して2a-1。
さらに偶奇で場合分け。
【偶】(2a-2)×3=6a-6
÷3した余りにも注目!3で割ったら余りは0~2。
nは偶数で6a-6は偶数だから、n=(6a-6)+2=6a-4もありえる!
n=6a-6、6a-4
【奇】(2a-1)×3=6a-3
nは偶数で6a-3は奇数だから、余りで帳尻を合わせて、n=(6a-3)+1=6a-2
◆nが奇数の場合
奇数である(2)n=127では、
127÷3=42…1(3の倍数の個数)→(41+1)÷2=21(42までの奇数の個数)
÷3の商が偶数なので42から-1した41までの奇数の個数である。
最初はa。逆の手順では2倍して-1だから、2a-1。
ここで偶奇の場合分け。
【偶】(2a-1)+1=2a
2a×3=6a
nは奇数で6aは偶数だから、余りを使ってn=6a+1。
【奇】(2a-1)×3=6a-3
nは奇数で6a-3は奇数。余りを使って(6a-3)+2=6a-1も可。
n=6a-3、6a-1
まとめると、6a-6、6a-4、6a-2、6a+1、6a-3、6a-1。
最小の値…6a-6、最大の値…6a+1
大問1
他県よりやや厳しい計算問題だが、なんとかくらいつきたい。
(5)一次関数の変化の割合は一定。
y=ax2は変化の割合が変わるので、a(p+q)を用いる。
(8)円錐の側面積=母線×半径×πはおさえておく。
大問2
(1)同数・同色が絡む。1と3は4通りずつになる。
(2)色を把握して数字の組み合わせを逆にできるかを検証する。
大問3
オーソドックスな形式。
(3)最短→線対称はいたるところで出題される。
Dのx座標を(2)で求めた式に代入する。
大問4
(2)CFを1辺とする三角形と相似にある三角形を探す。
大問5
(3)Kを含む面をどこで切り取るか。
直線AGを含み、かつ四角形BDJIが線分に見える面AEGCを正面からとらえると、
三角形の相似が使える。
大問6
(3)公立高校入試の世界ではトップレベルで難しいと思う。
いきなりaが出てきて絶望。。正答率はどれほどなのか。
解説では偶奇に分けて処理過程を遡った。
良い解法を見つけた方はお問い合わせか下のコメント欄から教えてください。
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コメント
6(2)よりxは3跳びの数で,yは2跳びの数
xが,3×0+2→3×20+2のとき,yが,2×20+1→2×0+1だから,(x,y)は0から20までの21通りある。
(x,y)が0から(a-1)までのa通りあるとき,
xの最小値は,3×0+0=0→3(aー1)+0=3aー3で,最大値は3×0+2=2→3(aー1)+2=3a-1
yの最小値は,2(aー1)+0=2a-2→2×0+0=0で,最大値は2(aー1)+2=2a-1→2×0+1=1
最小のxとyを組み合わせると,n=2×0+3×(2a-2)=2(3aー3)+3×0=6a-6
最大のxとyを組み合わせると,n=2×2+3×(2a-1)=2(3aー1)+3×1=6a+1