2022年度 京都府公立高校入試・前期過去問【数学】解説

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大問1(小問集合)

(1)
(-5)2-23÷4
=25-8÷4
=25-2
23

(2)
3/2ab÷1/6ab2×(-a2b)
=-9a2

(3)
√6×√18-9/√27
=√6×3√2-9/(3√3)
=3√12-3/√3
=6√3-√3
=5√3

(4)
3x-(y+8)=12 …①
x-2y=0 …②

①を整理して、3x-y=20 …③
②を整理して、x=2y …④
④を③に代入すると、
3×2y-y=5y=20
y=4
最後に④に放り込む。x=2×4=8
x=8、y=4

(5)
y=-7/3x+5
傾きaは変化の割合。
*変化の割合=(yの増加量)÷(xの増加量)
一次関数は変化の割合が一定なので、
6×(-7/3)=-14

(6)
(x-y)2-49
=(x-y)2-72
(x-y+7)(x-y-7)

(7)
4x2-4x-1=0
解の公式を適用。
xの係数が偶数なのでb=2b’が使える。
x=(1±√2)/2

(8)
円錐の側面積である扇形の中心角は〔×半径/母線〕。
円錐の側面積
=母線×母線×π×半径/母線
=母線×半径×π
これが上下で2つある。
5×3×π×2=
30πcm2

(9)
平均点…(0×14+1×13+2×12+3×2+4×1)÷42=47÷42=47/42点
中央値(メジアン)…42人の中央値は21番目と22番目の平均で1点
最頻値(モード)…最も度数が大きい値で0点
ウ<イ<ア

大問2(確率)

(1)
●1で等しくなる
1を取り出す確率は2/5。
1を2連続で出す確率は、2/5×2/5=4/25
●3で等しくなる
同様。4/25。
●5で等しくなる
5の確率は1/5。
5の2連続は、1/5×1/5=1/25
よって、同じ数が出る確率は、4/25+4/25+1/25=9/25

(2)
5個から2個を取り出す組み合わせは、52=10通り
aで場合分け。
●a=0
b=0だが、和が0はない。
●a=1
b=4
=1+3
留意点はa=1なので、白玉は1つだけである
(白1、黒3)(白3、黒1)の2通り。
●a=2
b=8=3+5
白玉は2つなので、(白3、白5)の1通り。
玉は2個しか取り出さないからa≧3はない。
合計3通り。確率は3/10。


大問3(関数)

(1)
y=ax2にA(-3、2)を代入。
2=9a
a=2/9

(2)
y=2/9x2にx=6を代入してB(6、8)。
A(-3、2)→B(6、8)
右に9、上に6だから、傾きは6/9=2/3
Aから右に3、上に2移動して、切片は2+2=4
y=2/3x+4

(3)
BC+CDの長さが最小⇒線対称

x軸についてCを対称移動させたC’とBを結び、x軸との交点がDである。
x座標の差から、C’D:DB=2:4=①:②
Dのx座標は、6×①/③=2
D(2、0)

高さはy=2/3x+4にx=2を放り込んでy=16/3
△BCDの面積は、6×16/3÷2=
16

大問4(平面図形)

(1)
△ABD≡△ACEの証明。

正三角形の1辺より、AB=AC、AD=AE
∠BAD=60-∠CAD=∠CAE
2辺とあいだの角度が等しいので合同。

(2)

CE=BD=⑦
CFがいくつになるかわかればいい。CFを1辺とする三角形を観察
・・なんとなく△ACFと△ECDの形が似ていて相似っぽい
正三角形ABCの内角で、∠ACB=60°
前問の合同から、∠ACE=∠ABD=60°
∠ACF=∠ECD=
120°だから、もう1個の等角さえ指摘できれば証明できる。

ここで∠ADE=∠ACE=60°に刮目する<●><●>カッ!
AEについて同じ側にあって、これらの角が等しいということは、
円周角定理の逆より4点A、D、C、Eは同一円周上にある
弧DCの円周角を使って、∠DAC(FAC)=∠DECなので2角相等。
やはり、△ACF∽△ECDであった。

AC=BC=⑨
AC:CF=EC:CDだから、
CF=⑨×2/7=〇18/7
EC:CF=⑦:〇18/7=49:18

@別解@

△CDF∽△BDAを経由してもいけます。
相似比は②:⑦なので、CF=【2】、BA=【7】
BA:CF=7:2だから、あとはの比に乗り換えて先ほどのようにBA=⑨からCFを求めます。


大問5(空間図形)

(1)
△EIJは直角二等辺三角形。
辺の比は1:1:√2→IJ=2√2cm

(2)

DJとBIを延長、交点をOとする。
三角錘O―EIJ∽三角錘O―ABDで相似比は1:2
OE=2√3cm
△ABDの辺の比は1:1:√2→BD=4√2cm

BDの中点をPとする。
直角二等辺ABDを2等分するAPの長さは、4√2÷2=2√2cm
△AOPで三平方→OP=2√14cm

最後に、△OBDから面積比で四角形BDJIを求める。
4√2×2√14÷2×③/④=6√7cm2

(3)

Kの位置を調べる。
Kは直線AGと四角形BDJIの交点。
直線AGを含む面AEGCで切り取るとKの位置が探りやすい

四角形BDJIとACとの交点は先ほどのP。
四角形BDJIとEGとの交点をQとする。
PとQはそれぞれBDとIJの中点で、P・K・Qは一直線上にある

AP=2√2cm
EG=BD=4√2cmでEQ=√2cmだから、QG=3√2cm
△APK∽△GQKより、PK:KQ=2√2:3√2=②:③
四角錘K―EFGHの高さは、2√3×③/⑤=6√3/5cm
したがって、その体積は、4×4×6√3/5÷3=
32√3/5cm3

大問6(整数)

(1)
長いすAをx脚、長いすBをy脚とすると、
2x+3y=20
係数の大きいyで場合分けをする。
2xと20は偶数だから、3yは偶数でなければならない
20÷3=6…2
6までの偶数の個数なので、6÷2=3個
(y=2、3、6はOK。y=1、3、5はダメ)

長いすBが0個の場合も許されるから、
3+1=
4通り

(2)
2x+3y=127
127÷3=42…1
2xは偶数、127は奇数だから、3yは奇数でなければならない
y=1、3、5…
42以下(1~41)までの奇数の個数である。
(41+1)÷2=
21通り

(3)
難問です:( ´ω` ):
数学上位層で暇を持て余した人たち向けの設問。

今まではnがわかってa通りを出した。
今度はa通りからnの最小値と最大値を求める。
つまり、処理過程を逆にさかのぼる
nの値が偶数か奇数かで処理過程が異なるので、nの偶奇で場合分け

◆nが偶数の場合
偶数である(1)n=20では、
20÷3=6…2(3の倍数の個数)→6÷2=3(6までの偶数の個数)→3+1=4(0を足す)

ただし、n=22を試してみると、
22÷3=7…1→7までの偶数=7以下の最大偶数6までの偶数の個数6÷2=3→3+1=4
÷3した商が奇数の場合は、それに-1した偶数までの偶数の個数である。

これを逆の手順でさかのぼると、
最初はa。
0を除外してa-1。
(a-1)×2=2a-2
÷3の商が偶数ならば2a-2だが、奇数ならば+1して2a-1
以下、さらに偶奇で場合分け。
【偶】(2a-2)×3=6a-6
÷3した余りにも注目!3で割ったら余りは0~2。
nは偶数で6a-6は偶数だから、n=(6a-6)+2=6a-4もありえる
n=6a-6、6a-4
【奇】(2a-1)×3=6a-3
nは偶数で6a-3は奇数だから、余りで帳尻を合わせて、n=(6a-3)+1=6a-2

◆nが奇数の場合
奇数である(2)n=127では、
127÷3=42…1(3の倍数の個数)→(41+1)÷2=21(42までの奇数の個数)
÷3の商が偶数なので42から-1した41までの奇数の個数である。

最初はa。逆の手順では2倍して-1だから、2a-1。
ここで偶奇の場合分け。
【偶】(2a-1)+1=2a
2a×3=6a
nは奇数で6aは偶数だから、余りを使ってn=6a+1。
【奇】(2a-1)×3=6a-3
nは奇数で6a-3は奇数。余りを使って(6a-3)+2=6a-1も可。
n=6a-3、6a-1

まとめると、6a-6、6a-4、6a-2、6a+1、6a-3、6a-1。
最小の値…6a-6 最大の値…6a+1
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