平均22.6点
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大問1(小問集合)-77%
(1)ア
7-15
=-8
イ
-4(2x-y)+5x-2y
=-8x+4y+5x-2y
=-3x+2y
ウ
28x3y2÷4x2y
=7xy
エ
√54-2√6
=3√6-2√6
=√6
(2)
x2-5x-6
=(x-6)(x+1)
(3)
x2-7x+8=0
解の公式を適用して、x=(7±√17)/2
(4)
【球の体積V=4/3πr3】
4/3π×23
=32/3πcm3
(5)
具体的な角度を作るので、適当なPを描いて角を調べる。
∠ABP=180-(60+75)=45°
∠PBC=60-45=15° ←60÷4=15°
∠ABCを4等分すればBPがひける。
①∠ABCの2等分線。
②下の30°をさらに2等分する。ACとの交点がPとなる。
@別解@
公式解答は∠ABP=45°に着目している。
①Bを通る垂線を作図。90°をつくる。
②90°を2等分する。これとACとの交点がP。
(6)
AとEを合わせてFにする。
∠BFD=25+15=40°
弧BDに対する円周角BFDを2倍→中心角BOD=40×2=80°
(7)
最小値4点、最大値30点→②か④
Q2(中央値)は、(15+1)÷2=8番目の値で14点。
②
@余談@
Q1(第1四分位数)は下位7個の真ん中→下から4番目の6点。
Q3(第3四分位数)は上位7個の真ん中→上から4番目の22点。
大問2(方程式・数量変化)-38%
(1)ア
新作1枚、準新作x枚、旧作y枚で合計が20枚だから、
x+y+1=20
①…x+y+1
イ
新作は、350×1=350円
準新作は、170x円
旧作は、90y円
合計して、170x+90y+350=2200
②…170x+90y+350
ウ
準新作の単価が170円から110円に下がる。
前問の170xが110xに変わる。
③…110x+90y+350
エ
特殊な設問である。
枚数の等式、x+y+1=20
x+y=19 …①
値段の等式が2つある…。
170x+90y+350=2200
110x+90y+350=2200
整理すると、
170x+90y=1850 …②
110x+90y=1850 …③
とりあえず、yでそろえてみる。
①を90倍して、90x+90y=1710
DVDの枚数を文字に置き換えているので、xは整数でなくてはならない。
差をとると、条件に合うのは20x=140
x=7(x≧5だから条件適合)
7枚
(2)ア
△ABCは秒速1cm。
1秒後の重なり部分は、等辺が1cmの直角二等辺三角形。
1×1÷2=1/2cm2
イ
3秒後の様子を図に描く。1cmが外に出る。
(1+2)×1÷2=3/2cm2
ウ
答案では動き始めてからの時間をx秒として方程式を立て、求める過程を記述する。
上図はx秒後の様子。
重なり部分が1cm2ということは、等辺がx-2cmの直角二等辺も1cm2
1/2(x-2)2=1 ←2倍
x2-4x+4=2
x2-4x+2=0
解の公式を適用。xの係数が偶数なので、b=2b’が使える。
『動き始めてから2秒後~4秒後』→2≦x≦4より、x=2+√2
*√2=1.41421356…( 一夜一夜に人見ごろ)
2+√2秒
@余談@
本問では条件が固定されて使えないが、以下のようにすると計算が少し楽になる。
2秒後を0秒後とみなして、ここから重なり部分が1cm2になる時間を考える。
外に出ている直角二等辺が1cm2だから、
1/2x2=1
x2=2
-2秒したので0≦x≦2、x=√2
+2秒して、2+√2秒後
大問3(確率・規則)-51%
イ
同時に2本ひく=1本ずつを2回ひくとする。
7本から2本を選ぶ。残った6本から1本を選ぶ。
2/7×1/6=1/21
ウ
【当たり→ハズレ】
7本から3本を選ぶ。残った6本から4本を選ぶ。
【ハズレ→当たり】
順番を逆にしただけなので同じ確率である。
(7本から4本を選ぶ。残った6本から3本を選ぶ)
合計すると、3/7×4/6×2=4/7
@別解@
7本から2本をひく組合せ→7C2=21通り
当たり1本とハズレ1本は、3×4=12通り
12/21=4/7
エ
【少なくとも1本当たり=全体-2本ともハズレ】
2本ともハズレは、4/7×3/6=2/7
少なくとも1本当たりは、1-2/7=5/7
(2)ア
横…75÷3=25枚
縦…30÷3=10枚
25×10=250枚
イ
15は30と75の最大公約数。
公約数…共通の約数。その最大数が最大公約数。
ウ
ウ
319と377で割り切れる最も大きい数
⇒319と377の最大公約数を求めればいいが数が大きい(;´Д`)
377と319が”何か”で割り切れるということは、
その”何か”は差の377-319=58も割り切れる。
58の約数は〔1、2、29、58〕
377と319は奇数なので、奇数の29に的を絞る。
377÷29=13!
(377と58が29の倍数だから、319も29の倍数である)
最大公約数は29→29cm
大問4(関数)-34%
(1)
y=ax2に(x、y)=(-4、-8)を代入。
-8=16a
a=-1/2
(2)
y=ax2は放物線。
前問よりa<0だからグラフは上に凸。
エ
(3)
y=-1/2x2にx=2を放り込む。
y=-1/2×22=-2
(4)
A(-4、-8)⇒B(2、-2)
右に6、下に6だから傾きは1。
切片CはBから左に2、下に2移動して、-2-2=-4
C(0、-4)
(5)ア
図がないので、(2)エのグラフにおのおのの点を記す。
Bを通るx軸に平行な直線→y=-2
AOの式はy=2x、これにy=-2を代入してx=-1
D(-1、-2)
mの傾きは-1なので、Dから右に1、下に1さがって切片は-3。
mの式は、y=-x-3
イ
ℓ;y=x-4とm;y=-x-3の交点がE。
x-4=-x-3
x=1/2
ℓの式に代入、y=1/2-4=-7/2
E(1/2、-7/2)
△BDEにおいて、底辺BD=2-(-1)=3
高さはEとBDの距離、7/2-2=3/2
△BDEの面積は、3×3/2÷2=9/4
ウ
△ACD(S)と△BDE(T)の面積比は底辺の比AC:EBで決着する。
底辺の比はx座標の差をとればいい。
S:T=AC:EB
=4:3/2
=8:3
大問5(平面図形)-26%
(1)
∠ABCは半円の弧に対する円周角→90°
(2)
△ACD∽△AFEの証明。
円O上の弧ABに対する円周角(●)と円O’上の弧ABに対する円周角(×)から、
2角相等で∽になる。
(3)
ここから差がつきやすい。
OO’:CDを求めたい。
OO’とCDをながめると、なんとなくOO’//CDに見える。
ADに補助線。
(1)より∠ABC=90°だから、∠ABD=90°
弧ADに対する円周角が90°→直径はAD、AO’の延長線上にDがある。
OはACの中点、O’はADの中点。
中点連結定理でOO’//CD、OO’:CD=1:2
(4)
OO’は円Oの半径で5cm。
先の比より、CD=5×2=10cm
△ABCで三平方→辺の比は3:4:5だからCB=8cm
BD=10-8=2cm
最後に△ABDで三平方→AD=2√10cm
(5)
EFは△AFEの1辺→(2)△ACD∽△AFEを活用する。
対応する辺から、CD:FE=AD:AE=2√10:6=√10:3
EF=10×3/√10=3√10cm
(6)
ここも先ほどの相似を使う。
面積比は相似比の2乗。
△ACD:△AFE=(√10)2:32=10:9
△ACDの面積は、10×6÷2=30cm2
△AFEの面積は、30×9/10=27cm2
大問1
計算は全問とりたい。
問題数が多いので、高得点を狙うには短時間で済ませたい。
(5)正答率はそんなに高くなさそう。∠BからPの位置を目指す。
(6)2つの円周角をあわせる。
大問2
(1)新作は1枚350円で固定。ア~ウは問題文の通りに式を並べればいい。
エ:準新作のxが2通りあるので、yでそろえてみる。
経験したことのない設定は、とりあえずやってみるチャレンジ精神が求められる。
(2)ウ:図を描いて、どこで方程式を作るか。2≦x≦4の条件はきちんと記述しよう。
大問3
(1)オーソドックスな形式。
樹形図で調べてもいいが、なるべく計算で出せるようにしておきたい。
(2)解きやすいポイント。上位校狙いは素早く解答する。
大問4
(4)ここまでは典型題。
(5)D・Eの座標を出さなくてはならない。細かい作業が連鎖するのでミスが怖い。
ウ:高さ共通→面積比は底辺の比
大問5
2円のタイプの問題を経験しているか否かで差がでそう。
(3)相似で攻めると苦戦する。
△ACDと△EABは結果的に相似の二等辺だが等角が指摘できない…。
直径ADは早期に見つけておきたい。円の中心は辺の中点→中点連結定理
(4)以降はとりやすいと思う。(3)を越えられるかで点差が広がりやすかった。
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