2022年度 福島県公立高校入試過去問【数学】解説

平均24.2点(前年比;±0.0点)

問題はコチラ→PDFファイル

大問1(計算)

(1)① 99.1%
3-9
=-6

② 97.3%
7/6×(-12)
=-1
4

③ 93.4%
5(a-2b)-2(2a-3b)
=5a-10b-4a+6b
=a-4b

④ 88.6%(部分正答0.5%)
√12×√45
=2√3×3√5
=6√15

(2) 69.2%(部分正答0.2%)
5×5×π×72/360
=5πcm2
(*中心角72°は円の5分の1

大問2(小問集合)

(1) 51.3%(部分正答9.3%)
原稿用紙16枚は16ag。
これに封筒bgを足したら250g以上になった。
16a+b≧250

(2) 86.5%

傾きが正だと右上。切片が負であるウ。

(3) 55.3%(部分正答0.9%)
(x-2)2-6=0
(x-2)2=6
x-2=±√6
x=2±√6

(4) 80.9%
10人の中央値(メジアン)は5番目と6番目の平均。
11と13の平均で12分。

(5) 68.3%

26°を対頂角で右側に移す。
赤線で外角定理を使って、26+60=86°
錯角でおろし、x=86°


大問3(確率&整数)

(1)① 83.8%
a【1、3、5】
b【-2、2】
c【2、4、6】
ab+c=-4となる組み合わせを探す。

まず、計算結果が負なので、b=2だとa~cすべてが正の数になるから不適
b=-2が確定。abを計算しておく。
ab【-2、-6、-10】
c【2、4、6】
このうち、条件を満たすのは-6+2と-10+6の
2通り。

② 56.0%
b=2のときは必ず正の数になる→0か負の数の方が少ない。
余事象である0か負の数を探す
ab【-2、-6、-10】
c【2、4、6】
(-2、2)
(-6、2~6)の3通り。
(-10、2~6)の3通り。
計7通り。
全体は3×2×3=18通り
正の数となる確率は、1-7/18=11/18

(2)① 67.7%
8段目の左端は82=64
8段目には8個の積み木が並ぶ。左端から右端はあいだの数である+7
64+7=71

② 12.1%!(部分正答27.6%)

図に文字を書いてしまおう。
再度書くが、左端から右端はあいだの数を足すので〔段数-1〕。
a=n2+(n-1)=n2+n-1
b=(n-1)2+(n-2)=n2-n-1
a-b=(n2+n-1)-(n2-n-1)=2n
nは自然数なので、2nは偶数。
したがって、a-bは偶数である。
ア 

大問4(方程式)

30.8%!(部分正答23.4%)
結果は勝ち・負け・あいこの3通り。
重さで等式を立てるので、それぞれの結果が起きたときにもらえるメダルの重さを算出する。
勝ち…Aが2枚で10g
負け…Bが1枚で4g
あいこ…Aが1枚、Bが1枚で9g

あいこが邪魔なので除外しておく
あいこを除いた回数は、30-8=22回
重さは、232-9×8=160g

そうたが勝った回数をx、そうたが負けた回数(ゆうなが勝った回数)をyとする。
x+y=22 …①
10x+4y=160 …②
②-①×4をすると、x=12
y=22-12=10
したがって、
そうたが勝った回数は12回、ゆうなが勝った回数は10回。

大問5(平面図形)

10.5%!!(部分正答44.9%)
△ABD≡△ACDの証明。

AC//BEの錯角より、∠AEB=
△ABEは二等辺三角形。AB=AEなので、AB=ACがいえる
仮定の∠BAD=∠CADと共通辺ADをあわせ、2辺とあいだの角が等しいので合同。

@@@

公式解答の2つ目を少々変えて説明すると、四角形ABECは菱形である。
菱形は対角線がおのおのの中点で交わるので、BD=CDが導ける。
3辺が等しいから、△ABD≡△ACDとなる。
いずれにせよ、隣り合う辺が等しい点で△BAEが二等辺であることを指摘する必要がある。


大問6(関数)

(1) 38.5%
Aはy=x+4上にある点。

これにx=-2を代入して、y=-2+4=2
A(-2、2)
Cはx軸についてAと対称だから、C(-2、-2)

(2) 26.7%!
同様にy=x+4にx=4を代入して、
B(4、8)
C(-2、-2)⇒B(4、8)
右に6、上に10なので、傾きは10/6=5/3
Cから右に2、上に2×5/3=10/3あがるから、切片は-2+10/3=4/3

y=5/3x+4/3

(3) 1.2%!!

△PBC:△ACB=①:④
△PBCが変な形をしているので、これをうまく変形させる
前問の式、BC;y=5/3x+4/3を利用しよう。

ACがx軸に垂直である点に注目。
Pを通るBCに平行な直線と、半直線ACとの交点をDとする
等積変形で△PBC=△DBC=①
△ACB:△DBC=④:①で高さ共通だから、底辺の比AC:CD=4:1
ACの距離がちょうど4なので、CDの距離は1である⇒D(-2、-3)

DPの傾きは5/3。
y=5/3x+bに(x、
y)=(-2、-3)を代入。
-3=5/3×(-2)+b
b=1/3
DP;y=5/3x+1/3

PはDPとy=1/2x2の交点。Pのx座標をtであらわすと、
1/2t2=5/3t+1/3
3t2-10t-2=0
解の公式を適用。tの係数が2で割り切れるのでb=2b’が使える。
t>0より、
t=(5+√31)/3

大問7(空間図形)

(1) 61.7%

直角二等辺ABCをBMで真っ二つに割ると、△ABMも直角二等辺
辺の比は1:1:√2だから、BM=6×1/√2=
3√2cm

(2)① 28.9%!
直角二等辺三角形ABCの辺の比より、AC=6√2cm

△APCの特徴を捉える。
△ABPと△CBPに着目すると、AB=CB=6cm、
∠ABP=∠CBP=90°、共通辺BPより、2辺と間の角度が等しいので合同
AP=CPより、△APCは二等辺三角形である。
(B・E・Mを通る面で三角柱全体を切断すると左右に二等分される)
AM=CMより、PMは頂点Pから底辺ACを二等分しているので、
二等辺三角形APCの高さにあたる。
30×2÷6√2=
5√2cm

② 4.6%!!
三角錐B―APCにおいて、底面の△APC=30cm2がわかっているから、
あとは三角錐の体積がわかれば、求めたい高さ(距離)がでる。

面ABCとBEは直角⇒∠MBP=90°
△BMPで三平方→辺の比は3:4:5だからBP=4√2cm
底面積(△ABC)×高さ(BP)÷底面積(△APC)=求めたい高さ

6×6÷2×4√2÷30=12√2/5cm


大問1
10点確保する。
大問2
(1)正答率が半分…。中1で習うよ!
(3)カッコは展開しない方が楽。
(5)∠xと等しい角はどこか。印をつけてみよう。
大問3
(1)①全部調べると時間がかかる。負の数はbの-2しかない点に着目する。
②abを先に計算しておくと調べやすい。
(2)①あいだの数であることに気をつければ難しくはない。
②aとbをnを用いて表してa-bを出す。最後は決まり文句を述べる。
大問4
先に各メダルの重さを出して、あいこを除いた等式を立てる。
大問5
シンプルな構図で方針も立てやすい。△ABEが二等辺であるのがポイント。
大問6
(1)ここをミスると全部落とす!グラフにないCの位置を正確に!
(3)ここが最もできていなかった。
三角形を等積変形して高さ共通か底辺共通にし、面積比4:1を線分の比に置き換える。
ACが垂直であることから、底辺AC:CD=4:1に置き換えると、
ACの距離がちょうど4なのでCD=1。おそらくこれが作問者の想定解だと思われる。
大問7
(2)①△APCがは二等辺。三角柱を左右合同に分割すると見えやすい。
②方針は立てやすい。時間配分と計算ミスに注意する。

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