平均47.1点（前年比；－14.2点）
問題はコチラ→ＰＤＦファイル
大問１（小問集合）
（１）
５＋（－３）×２
＝５－６＝－１
（２）
３ｘｙ2÷（－２ｘ2ｙ）×４ｙ
＝－６ｙ2/ｘ
（３）
√45＋√５－√20
＝３√５＋√５－２√５
＝２√５
（４）
ａ（ａ＋２）－２（ａ＋２） ←共通因数ａ＋２
＝（ａ－２）（ａ＋２）
＝ａ2－４ ←ここで代入
＝（√６）2－４
＝６－４＝２
（５）
３ｘ＋２ｙ＝７
２ｘ＋ｙ＝６
加減法がやりやすいかな？
連立を解いて、ｘ＝５、ｙ＝－４
（６）
ｘ2＋６ｘ－16
＝（ｘ＋８）（ｘ－２）＝０
ｘ＝－８、２
（７）
1500円のａ割→1500×ａ/10＝150ａ円
定価－ａ割
＝1500－150ａ円
（８）
∠ＰＡＢ＝∠ＰＢＡをどう使うか。
線対称で対応する角は等しい。
ＡＢの垂直二等分線をひき、ＡＣとの交点がＰとなる。
（９）
△ＡＢＤは二等辺→∠ＤＢＡ＝ｘ
△ＡＢＤで外角定理→∠ＢＤＣ＝ｘ＋ｘ＝２ｘ
△ＢＣＤは二等辺→∠ＢＣＤ＝２ｘ
△ＡＢＣの内角より、ｘ＋２ｘ＋90°＝180°
ｘ＝30°
（10）
最頻値（モード）…最もあらわれている値。
階級値で答えること！
7.0と7.5の平均である7.25秒。
大問２（関数）
（１）
ｘ＝０のとき、最小値ｙ＝０
ｘ＝３のとき、最大値ｙ＝９
０≦ｙ≦９
（２）
グラフの式に代入して、座標を確認。
Ａ（１、１）⇒Ｂ（３、９）
右に２、上に８だから、傾きは４。
Ａから左に１、下に４移動して、切片は１－４＝－３
ｙ＝４ｘ－３
（３）
線分ＡＢを平行移動して線分ＣＤに移す。
ＡがＣ、ＢがＤに移動する。（Ｄは必ずしもグラフ上の点ではない）
四角形ＡＢＣＤは平行四辺形である。
Ｂから下に８、左に２移動してＡ。
Ｄから下に８、左に２移動してＣ。
Ｄのｘ座標が－１だから、Ｃのｘ座標は－３となる。
ｙ＝１/３ｘ2に代入。
Ｃのｙ座標は、１/３×（－３）2＝３
Ｄのｙ座標は、３＋８＝11
大問３（確率）
（１）
ＯＢ上にくるということは、大・小の目が同じ。
６通りだから、６/36＝１/６
（２）
ＯＡの長さは６で固定なので、ＡＯ＝ＡＰからＰ（６、６）
０は出せないのでこれしかない。
今度はＯＡを斜辺と捉えると、
ＯＡを直径とする半円の弧に対する円周角からＰ（３、３）
以上、２通り。
２/36＝１/18
（３）
Ｏから半径の長さが４となる円を描く。
気を付けるべき点は、（３、３）は含まない！
Ｏから（３、３）までの距離は３√２
（３√２）2＞４2だから、３√２＞４となる。
格子点の数は８個。
８/36＝２/９
大問４（規則）
（１）
三角形の数に注目。
１番目…１個、２番目…３個、３番目…６個、４番目…10個
６番目の三角形の数は１～６の和。１＋２＋３＋４＋５＋６＝21個
棒の本数は、３×21＝63本
（２）
１辺２の正三角形の個数を各段で数えてみると、
２段目１個、３段目２個、４段目３個…10段目９個。
１～９の和を求める。
（１＋９）×９÷２＝45個
（３）
（１）と同じ考え。
234÷３＝78個の正三角形ができるのは何番目か。
数字が小さいので足していった方が早い。
１～10までの和が55だから、
55＋11＝66
66＋12＝78！
したがって、12番目。
大問５（空間図形）
（１）
△ＯＡＢは１辺４ｃｍの正三角形。
斜辺を４ｃｍとする１：２：√３の直角三角形より、高さは４×√３/２＝２√３ｃｍ
４×２√３÷２＝４√３ｃｍ2
（２）
最短距離なので展開図を作成。
四角形ＡＢＣＯは１辺４ｃｍの菱形。
△ＡＢＰ∽△ＱＯＰより、ＯＰ：ＰＢ＝ＯＱ：ＡＢ＝１：２
ＯＢ＝４ｃｍだから、ＯＰ＝４×１/３＝４/３ｃｍ
（３）
Ａ、Ｃ、Ｐで切断したとき、底面は△ＡＢＣになる。
→ポイントは【三角錐Ｏ－ＡＢＣ⇒三角錐Ｐ－ＡＢＣ】
ＯＢ：ＰＢがこれらの高さの比にあたる。
ＰＢ＝４－４/３＝８/３ｃｍ
ＯＢ：ＰＢ＝４：８/３＝③：②
Ｏの真下をＨとする。三角錐Ｏ－ＡＢＣの高さＯＨを求める。
△ＡＢＣは直角二等辺で辺の比は１：１：√２→ＡＣ＝４√２
△ＯＡＣの辺の比を調べると、４：４：４√２＝１：１：√２
△ＯＡＣも直角二等辺である。
それを二等分した△ＯＡＨも同様に直角二等辺。ＯＨ＝４×１/√２＝２√２ｃｍ
求積すべき体積は、４×４÷２×２√２÷３×２/３＝32√２/９ｃｍ3
大問６（数量変化）
（１）
６秒後の様子を描く。
折り返したＲは台形ＡＢＰＱと面積が等しい。
ｙ＝（６＋２）×４÷２＝16
（２）
転換点に注意する。
Ｒは折り返された部分と合同。
０≦ｘ≦４では、△ＡＰＱの底辺と高さがともに伸びる。
面積はｙ＝ａｘ2で増加し、ｘ＝４のとき、ｙ＝４×４÷２＝８
４≦ｘ≦８では、台形ＡＢＰＱは上底と下底が伸びる。
面積は一次関数で増加し、ｘ＝８のとき、ｙ＝（８＋４）×４÷２＝24
８≦ｘ≦10では、△ＤＰＱの部分が底辺のみ伸びる。
面積は一次関数で増加し、ｘ＝10のとき、ｙ＝24＋２×４÷２＝28
↑まとめるとこうなる。
（３）
ここも転換点に気を付けながら調べる。
０≦ｘ≦４はＳとＲは同じ。
４≦ｘ≦８はＳは等積のまま右に移動する。
８≦ｘ≦10は高さが小さくなるので、Ｓの値も小さくなる。
オ
（４）
先ほどのグラフにＲを描く。
Ｓの面積が８ｃｍ2のときが長いので、このときのＲを計算すると、
Ｒ＝８×５/２＝20ｃｍ2
グラフより、７秒後。
大問７（平面図形）
（１）
△ＡＢＤ∽△Ｏ’ＢＰの証明。
１つは共通角。
半径ＯＰと接線ＤＢは垂直だから、∠Ｏ’ＰＢ＝90°
半円の弧に対する円周角である∠ＡＤＢ＝90°
２角が等しいので∽。
（２）①
ここから難しくなります(;´Д｀)
ＰＥが変な位置にあるので、図形の特徴をつかむために少し調べる。
Ｏ’Ｐ＝２ｃｍ、Ｏ’Ｂ＝４ｃｍ、∠Ｏ’ＰＢ＝90°から、
△Ｏ’ＢＰの辺の比が１：２：√３である直角三角形であることに勘づきたい。
∠ＰＢＯ’＝30°
前問で△ＡＢＤ∽△Ｏ’ＢＰだから、△ＡＢＤの辺の比も１：２：√３。
ＡＢ＝６ｃｍより、ＢＤ＝６×√３/２＝３√３ｃｍ
ＢＤとＢＥは円Ｏ’の接線であり、ＰとＱはそれぞれの接点である。
円外の点から接点までの距離（接線の長さ）は等しいので、ＢＱ＝ＢＰ＝２√３ｃｍ
その延長線でＢから円Ｏとの交点までの距離も等しく、ＢＥ＝ＢＤ＝３√３ｃｍ
ようするに、直径ＡＢを対称の軸としてこれらが上下で線対称の関係にある！
∠Ｏ’ＢＱ＝30°
ごちゃごちゃして申し訳ない(;`ω´)
ＰからＢＥに向けて垂線、その足をＲとする。
△ＢＰＲの内角も30°－60°－90°で１：２：√３から、ＰＲ＝３ｃｍ、ＢＲ＝√３ｃｍ。
（△Ｏ’ＣＰは正三角形で∠ＢＰＣ＝30°。すなわち、ＣはＰＲ上にある）
ＥＲ＝３√３－√３＝２√３ｃｍ
△ＰＲＥで三平方→ＰＥ＝√21ｃｍ
*ちなみに、△ＢＰＱは正三角形になる。
②
△ＢＣＲも１：２：√３→ＣＲ＝１ｃｍ
ＰＣ＝３－１＝２ｃｍ
△ＣＰＥは底辺ＰＣで高さＥＲだから、２×２√３÷２＝２√３ｃｍ2
大問１
ここはミスを最小限におさえたい。
大問ごとの後ろの小問がやりにくいので重要な得点源。
大問２
（３）Ｄは必ずしもグラフ上の点とは限らない。
ここを踏まえないとおかしくなる。
大問３
（２）いろいろありそうだが２通りしかない。
ＯＡが斜辺かそうでないかで場合分けが良いかも。
（３）（３、３）は含まない！
大問４
（２）ここも問題文の条件を的確に。段ごとで調べると規則がある。
大問５
（３）断面ＡＰＣを作図⇒底面は四角形ＡＢＣＤではなく△ＡＢＣ。
前問から高さの比。正四角錘の高さも素早く求めたい。
大問６
（２）（３）時間が足りないので、要領良く調べ上げたい。
大問７
（２）①ＰＥを１辺とする直角三角形が見当たらないので作る。
辺の比に注意して１：２：√３を早々に気がつきたい。
問題文に角度の情報がないので見つけにくいが、図形問題でつまったら角度の調査！
円の中心ＯとＯ’が直径ＡＢ上にあり、２本の接線から上下で線対称。
処理自体は多くはないが、図形の特徴を正確にひもとくのが大変な問題であった。
30°か60°がでたら垂線をひくと便利な直角三角形がつくれる。ぜひ応用してみよう。
公立高校入試解説ページに戻る
コメント