2022年度 熊本県公立高校入試・選択問題B過去問【数学】解説

平均点23.3点(前年比;+0.4点)
問題はコチラ→PDFファイル

大問1(計算)

(1)
0.5×0.7
=0.35

(2)
-9+8÷4
=-9+2
=-7

(3)
(x+3y
)/4+(7x-5y)/8
={2(x+3y)+(7x-5y)}/8
=(2x+6y+7x-5y)/8
=(9x+y)/8

(4)
6ab÷(-9a22)×3a2
=-2a

(5)
(2x-3)2-4x(x-1)
=4x2-12x+9-4x2+4x
=-8x+9

(6)
(√6-2)(√3+√2)+6/√2
=3√2+2√3-2√3-2√2+3√2
=4√2

大問2(小問集合)

(1)
3x-7=8-2x
5x=15
x=3

(2)
2x2+7x+1=0
解の公式を適用して、x=(-7±√41)/4

(3)①
14人の中央値(メジアン)は7番目と8番目の平均。
12と14の平均→13m



第2四分位数(Q2;中央値)が13m。
第1四分位数(Q1)は、下位7人の中央値11m(下から4番目)。
第3四分位数(Q3)は、上位7人の中央値16m(上から4番目)。
最小値8m、最大値18m。 以上をもとに描くと、うえの箱ひげ図になる。

(4)

半径から△AOCは二等辺三角形。
∠COA=180-70×2=40°
中心角の大きさは弧の長さに比例する。 ∠COD=40×2=80°
半径は接線と直交する→∠ODE=90°
四角形AODEの内角より、∠CED=360-(70+120+90)=80°

(5)

試しに、∠APD=∠ACDとなるようなPをAB上に描いてみる。
CとPがADについて同じ側にあって2つの角が等しいから、
円周角定理の逆より4点A、P、C、Dは同一円周上にある。
→この円の中心の位置が知りたい。

円の中心OはADとDCそれぞれの垂直二等分線の交点である。
それでも良いが、では公式解答は何をやってるかというと、
直径に対する円周角は90°なので、∠ADC=90°から直径はAC
この中点が中心Oである。
①ACの垂直二等分線、円の中心Oを特定。
②半径OCの長さをAB上に移す。円周とABの交点がP。

(6)①
小問扱いだが、問題文が長くなる(´゚ω゚)
条件を整理する。
●3個同色→和
●2個同色→同×同+異
1×2+3=5点


全体は、21×42=12通り
得点が奇数になる組み合わせを調べる。
●赤3個
(1+0+2)の1通り。
●赤2個+白1個
白がAの偶数2の場合、Bの赤2個の積は奇数である。
しかし、そのような組み合わせはない。
白がBの奇数3の場合、赤2個の積は偶数である。
(1×0+3)(1×2+3)の2通り。
●赤1個+白2個
白の積は2×3=6と偶数なので、Bの赤は奇数である。
(2×3+3)の1通り。
合計4通りで、確率は4/12=1/3

(7)①

2回目にすれちがった場所はの交点。
妹は片道25秒ずつなので、1.5往復は75秒後。
姉の片道は28と68の平均で48秒後。

青線の相似に着目する。 相似比は、27:18=3:2
姉の48~68秒の20秒間の時間をとすると、=20×/=12秒
交点の時間は、48+12=60秒後



情報を整理する。
妹は前日と同じ速さで2往復するので様子は変わらない。
姉のゴールも8秒遅れで変わらず、2往復目のクロールの速さも変わらない。
ということは、姉の1往復目(平泳ぎ)だけが変わっている
姉の1往復目のゴールは68秒後。
グラフの赤線部分だけを変えて、2回目のすれ違いが58秒後になるようにする。

赤線に着目する。 この距離を妹は8秒、姉は10秒の時間で泳いだ。
速さの比は時間の逆比、妹:姉=10:8=
妹の速さは25m÷25秒=毎秒1mだから、姉の速さは1×/=毎秒0.8m
姉の1往復の時間は、50÷0.8=62.5秒
姉のスタートは、68-62.5=5.5秒後
a=5.5、b=0.8


大問3(資料問題)

(1)①
ア:最頻値(モード)は最もあらわれている値。
値といっても、
度数ではなく階級値の37.5kg。×
イ:累積度数とは、最も小さい階級からその階級までの度数の合計。
45kg以上の度数が2+1=3人なので、45kg未満の和は15-3=12人。〇
ウ:範囲(レンジ)=最大値-最小値
表1は25-30kgと50-55kgがなく、表2より範囲は小さい。×
エ:4/25<3/15=1/5=5/25。〇
イ・エ


答案では累積相対度数を用いて理由を説明する。
各々の確率を出して比較すれば良い。
●1組の計25人から1人を選ぶ。 (0+4+11)/25=0.6
●1組と2組の計40人から1人を選ぶ。 (15+1+3+3)/40=0.55
0.6>0.55だから、アの方が40kg未満が選ばれやすい。

(2)

下の長方形は、美咲の現実の握力(21kg)のときの15人の総和。
もし、美咲の握力がakgでもう少し強かったら、
赤い長方形が追加されて15人の平均値は+0.4kg増える。
15人の総和の増加分(赤い長方形)面積は、0.4×15=6kg
現実の美咲の握力は21kgだから、a=21+6=27

後半は赤い長方形の面積を40人で均せばいい。
40人の平均値の増加分は、b=6÷40=0.15
ア…27、イ…0.15

大問4(空間図形)

(1)

Eから垂線をおろし、足をSとする。
SP=EH=4cm
四角形EFGHは等脚台形で左右対称だからSF=PG
PG=(8-4)÷2=2cm

(2)
△HPQで三平方→HP=3√5cm

(3)

△EQH∽△GQFで、EQ:QG=1:2。
△EFQ:△QFG=
△EFG⇒△EFQ
8×3√5÷2×/
 =4√5cm2

(4)
三角錐R―EFQにおいて底面積は△EFQ=4√5cm2
高さがわかれば、三角錐の体積が求まる。

RはCEと△AFHの交点。
Rの位置を特定するために、CEを含む面AEGCに着目する
前問の相似から、EQ:QG=→AC=
△ARC∽△QREより、ER:RC=

三角錐の高さは、10×/=5/2cm
三角錐R―EFQの体積は、4√5×5/2÷3=10√5/3cm3

大問5(関数)

(1)
y=ax2にAの座標(4、4)を代入する。
4=16a
a=1/4

(2)
y=-x2にx=-2を代入して、B(-2、-4)
Cはy軸に関してBに対称だから、C(2、-4)
C(2、-4)⇒A(4、4)
右に2、上に8移動して傾きは4。
Cから左に2、下に8移動して、切片は-4-8=-12
y=4x-12

(3)①

QA=QPだから、△APQは二等辺三角形
底辺PAの垂直二等分線上にQがあるので、Qのx座標はPとAの平均
(t+4)÷2=1/2t+2



まずは動きを確認します。
PはAH上、QがAC上の点で、AからPを左、Qを左下に移動させてみる。
△APQは常に二等辺三角形で、PがHに着くとQはちょうどCに着く。
△QHDは底辺HD=8で固定、高さが減少するので面積は減少する。
△PHQは底辺PH=4、高さ0の状態から面積が増加、
終わりは底辺PH=0、高さ8で面積が0に戻る。
…ということは、△PHQの面積は途中まで増加してどこかで減少に転ずる。

Pのx座標がt、Qのx座標は前問より1/2t+2。
Qのy座標は、y=4x-12にx=1/2t+2を代入して、
y=4×(1/2t+2)-12=2t-4

△QHD…8×(1/2t+2)÷2=2t+8
△PHQ…t×{4-(2t-4)}÷2
=-t2+4t
3(-t2+4t)=2t+8
3t2-10t+8
=(3t-4)(t-2)=0
t=4/3、2
PはAH上の点だから、0≦t≦4で条件に適する。

@余談@

Qのx座標をtにおいた方がいんじゃね?(・Д・)
と思って試したら、△PHQがひどかったです(;`ω´)
△QHD…8×t÷2=4t
△PHQ…(2t-4)(-4t+16)÷2
2(t-2)(-4t+16)÷2=-4t2+24t-32
3(-4t2+24t-32)=4t
12t2-68t+96=0
3t2-17t+24=(3t-8)(t-3)=0
t=8/3、3
2t-4=4/3、2
素直に誘導に従いましょう(;`ω´)

大問6(平面図形)

(1)
△ABE∽△BCGの証明。

直径に対する円周角で∠AEB=90°
∠ABE=×として、弧AEの円周角より∠ACE=×
仮定より∠ACF=∠BCD=とおく。
∠ACE(×)=+∠FCD=∠BCG(×
90°と×の2角が等しく∽。

(2)

CGは△BCGの1辺。
前問の△ABE∽△BCGを使うのだろうと想像する。
CGに対応するBEの長さが知りたいところ。

△ABCに着目すると、AC:AB=6:10=3:5
辺の比が3:4:5の直角三角形だから、BC=8cm
ここから悩む(´~`)
△CADが二等辺三角形であることに着目する。

Cから垂線をひき、ADとの交点をHとする
直角三角形の頻出の相似形、2角相等で△ABC∽△ACH
AC=とおくと、AH=
また、CHは二等辺三角形CADを2等分するので、DH=AH=
AD=6×/=36/5cm
DB=10-36/5=14/5cm

二等辺三角形CADの底角をとする。
対頂角で∠BDE=、弧BCの円周角で∠BED=
△BDEも二等辺だから、BE=BD=14/5cm

最後に△ABE∽△BCG
CG=14/5×8/10=56/25cm


大問1
ここだけで配点が10点もある。
大問2
(4)円周上の点と円の中心を結ぶと何とかなる。
(5)円周角で2つの角が等しくなる。円を描くには中心が必要。
(6)条件がやや
複雑。ここでまごつくと時間配分が危うくなる。
②赤は3~1個(白は0~2個)の3通り。
それぞれのなかで条件に合う組み合わせを調べ上げる。
(7)大問が6個もあるのに、ここの2問で時間を消費してしまう。。
①グラフ上で相似を使うと処理が速い。
②姉の平泳ぎだけが変わる。
58秒後の出会いから、姉の平泳ぎの速さが先に求まる。
大問3
(1)②おのおのの累積相対度数を比べればOK。
(2)解説では中学受験の面積図で解いた。
大問4
次の小問の前提になるのでドミノ倒しの危険がある。
(1)等脚台形は公立入試でよく登場する。
(3)同様。高得点を狙うには、ここまで時間をかけたくない。
(4)CEを含む面で切り取る。RはCEとAQの交点。
大問5
(3)①二等辺三角形の底辺PAの垂直二等分線上にQがある。
②処理が大変(´゚д゚`)50分で間に合うのか?Qのy座標がポイント。
大問6
(1)ある角の左右に等角がある。∠ACEを∠BCGにズラす。
(2)ここも大変。対応する辺に狙いをしぼる。
AB=10cmに対応するBCは直角三角形ABCからわかる。
△ABEと△BCGの相似比がでるので、CGに対応するBEが知りたい。
3:4:5の辺の比を二等辺三角形で使う。
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