2020年度　慶應義塾高校過去問【数学】大問７解説

問題ＰＤＦ
座標平面上を３つの動点Ｐ、Ｑ、Ｒが原点Ｏを同時に出発し、
以下のような経路で毎秒１の速さで動く。ただし、点と点の間は最短経路を進むものとする。
動点Ｐ：原点Ｏ→点（０、４）→点（２、４）→点（２、６）→点（０、６）
動点Ｑ：原点Ｏ→点（－２、０）→点（－２、２）→点（０、２）→点（０、４）→点（２、４）
動点Ｒ：原点Ｏ→点（６、０）→点（２、０）
原点を出発してからｔ秒後の△ＰＱＲの面積をｙとするとき、次の問いに答えよ。
（１）
０＜ｔ≦２のとき、ｙをｔの式で表せ。

（２）
０＜ｔ≦８のとき、ｙとｔの関係を表すグラフを下の図にかけ。

（３）
８≦ｔ≦10のとき、ｔ＝ａで３つの動点Ｐ、Ｑ、Ｒが一直線上に並ぶ。
ａの値を求めよ。

＠解説＠
（１）

↑２秒後まではこのように広がっていく。
底面と高さがともに増えていくので、△ＰＱＲの面積はｙ＝ａｘ²の形で増加する。
ｙ＝２ｔ×ｔ÷２＝ｔ²

（２）
２秒ごとに向きが変わるので地道に調べていくしかない(´･ω･`)

↑移動先をＰ’、Ｑ’、Ｒ’とすると４秒後はこうなる。
ＰＱとＰ’Ｑ’は平行で長さが等しい。
底辺をＰ’Ｑ’とすると高さはＲ’方面となり、
底辺の長さは変わらず、Ｒが右に離れることで高さだけが長くなる。
ここから△ＰＱＲの面積は比例で増えていくと考えられる。

Ｐ’Ｑ’とＰ’Ｒ’の傾きは45度である点に注目すると、２つの直角二等辺三角形が見つかる。
Ｐ’Ｑ’＝２√２、Ｐ’Ｒ’＝４√２、∠Ｒ’Ｐ’Ｑ’＝90°
ｙ＝２√２×４√２÷２＝８

△ＰＱＲが平行移動して△Ｐ’Ｑ’Ｒ’となる。面積は一定。
ｙ＝８

↑８秒後の様子。
ＰＱ//Ｐ’Ｑ’、ＰＱ＝Ｐ’Ｑ’
底辺をＰＱとすると、高さはＲ方向でＲ→Ｒ’の移動から高さの成分が減る。
ＰＱ→Ｐ’Ｑ’で底辺がＲ’から離れるので、高さの成分が増える。
高さの減少と増加が同時に起こる。ここから面積は一定になるのではないかと推測する。

長方形をつくり、周りの３つの三角形を控除する。
ｙ＝４×６－２×２÷２－４×４÷２－２×６÷２＝８

↑解答。途中の変化も問われるので難しい。
迷ったら時間はかかるが、３秒後、５秒後など奇数秒後を確かめるのもＯＫ。

（３）

８～10秒後に３点がどう移動するか、正確に描写する。

ＰＲに直線を引く。
ＰとＲは同じ速さで同じ方向に移動するので、直線ＰＲは平行移動する。
ということは、Ｑが直線ＰＲ上にくるときを考えればいい。

直線ＰＲがＱのゴール（２、４）と交わるまでの移動距離を計算する。
青い２つの直角三角形の相似から、２×２/６＝２/３
直線ＰＲが（２、４）と交わるとき、同じ速さで動くＱも２/３移動している。
残りの距離は、２－２/３＝４/３
ここからＱと直線ＰＲは１の速さで近づいていく。
出会う時間は、４/３÷２＝２/３秒後
したがって、０秒後から計算すると、ａ＝８＋２/３＋２/３＝28/３

＠別解＠

10秒後の様子を考える。
ｙ＝４×２÷２＝４

ここで前問のグラフの続きを記入する。
どこかで３点が一直線になると△ＰＱＲの面積は０となり、10秒後に４となる。
求めたいのは０となる時間…。

線対称の考えで４を下に移動。
２つの直角三角形の相似を利用。辺の比は、８：４＝②：①
ａ＝８＋２×②/③＝28/３
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