問題ＰＤＦ
座標平面上を３つの動点Ｐ、Ｑ、Ｒが原点Ｏを同時に出発し、
以下のような経路で毎秒１の速さで動く。ただし、点と点の間は最短経路を進むものとする。
動点Ｐ：原点Ｏ→点（０、４）→点（２、４）→点（２、６）→点（０、６）
動点Ｑ：原点Ｏ→点（－２、０）→点（－２、２）→点（０、２）→点（０、４）→点（２、４）
動点Ｒ：原点Ｏ→点（６、０）→点（２、０）
原点を出発してからｔ秒後の△ＰＱＲの面積をｙとするとき、次の問いに答えよ。
（１）
０＜ｔ≦２のとき、ｙをｔの式で表せ。
（２）
０＜ｔ≦８のとき、ｙとｔの関係を表すグラフを下の図にかけ。
（３）
８≦ｔ≦10のとき、ｔ＝ａで３つの動点Ｐ、Ｑ、Ｒが一直線上に並ぶ。
ａの値を求めよ。
＠解説＠
（１）
↑２秒後まではこのように広がっていく。
底辺と高さがともに長くなるので、△ＰＱＲの面積はｙ＝ａｘ2の形で増加する。
ｙ＝２ｔ×ｔ÷２＝ｔ2
（２）
２秒ごとに向きが変わるので地道に調べていくしかない(´･ω･`)
↑移動先をＰ’、Ｑ’、Ｒ’とすると４秒後はこうなる。
ＰＱとＰ’Ｑ’は平行で長さが等しい。
底辺をＰ’Ｑ’とすると高さはＲ’方面となり、
底辺の長さは変わらず、Ｒが右に離れることで高さだけが長くなる。
ここから△ＰＱＲの面積は一次関数で増えていくと考えられる。
Ｐ’Ｑ’とＰ’Ｒ’の傾きが45度である点に注目すると、２つの直角二等辺三角形が見つかる。
Ｐ’Ｑ’＝２√２、Ｐ’Ｒ’＝４√２、∠Ｒ’Ｐ’Ｑ’＝90°
ｙ＝２√２×４√２÷２＝８
△ＰＱＲが平行移動して△Ｐ’Ｑ’Ｒ’となる。面積は一定。
ｙ＝８
↑８秒後の様子。
ＰＱ//Ｐ’Ｑ’、ＰＱ＝Ｐ’Ｑ’
底辺をＰＱとすると、高さはＲ方向でＲ→Ｒ’のｘ軸上の移動から高さの成分が減る。
ＰＱ→Ｐ’Ｑ’のｙ軸に対する平行移動から底辺がＲ’から離れるので、高さの成分が増える。
ｘ軸で高さの減少とｙ軸で高さの増加が同時に起こる。ここから面積は一定になるのではないかと推測する。
長方形をつくり、周りの３つの三角形を控除する。
ｙ＝４×６－２×２÷２－４×４÷２－２×６÷２＝８
（*Ｑ’Ｒ’の中点が（２、２）なので、４×４÷２＝８でもＯＫ）
↑解答。途中の変化も問われるので難しい。
（３）
８～10秒後に３点がどう移動するか、正確に描写する。
ＰＲに直線を引く。
ＰとＲは同じ速さで同じ方向に移動するので、直線ＰＲは平行移動する。
ということは、Ｑが直線ＰＲ上にくるときを考えればいい。
直線ＰＲがＱのゴール（２、４）と交わるまでの移動距離を計算する。
青の直角三角形の相似から、２×２/６＝２/３
直線ＰＲが（２、４）と交わるとき、同じ速さで動くＱも２/３移動している。
残りの距離は、２－２/３＝４/３
ここからＱと直線ＰＲは１の速さで近づいていく。
出会う時間は、４/３÷２＝２/３秒後
したがって、０秒後から計算すると、ａ＝８＋２/３＋２/３＝28/３
＠別解＠
10秒後の様子を考える。
ｙ＝４×２÷２＝４
ここで前問のグラフの続きを記入する。
どこかで３点が一直線になると△ＰＱＲの面積は０となり、10秒後に４となる。
求めたいのは０となる時間。
線対称の考えで４を下に移動。
２つの直角三角形の相似を利用する。辺の比は、８：４＝②：①
ａ＝８＋２×②/③＝28/３
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