2020年度 慶應義塾高校過去問【数学】大問7解説

座標平面上を3つの動点P、Q、Rが原点Oを同時に出発し、
以下のような経路で毎秒1の速さで動く。ただし、点と点の間は最短経路を進むものとする。

動点P:原点O→点(0、4)→点(2、4)→点(2、6)→点(0、6)
動点Q:原点O→点(-2、0)→点(-2、2)→点(0、2)→点(0、4)→点(2、4)
動点R:原点O→点(6、0)→点(2、0)
原点を出発してからt秒後の△PQRの面積をyとするとき、次の問いに答えよ。
(1)
0<t≦2のとき、yをtの式で表せ。

(2)
0<t≦8のとき、yとtの関係を表すグラフを下の図にかけ。

(3)
8≦t≦10のとき、t=aで3つの動点P、Q、Rが一直線上に並ぶ。
aの値を求めよ。


@解説@
(1)

↑2秒後まではこのように広がっていく。
底面と高さがともに増えていくので、△PQRの面積はy=ax2の形で増加する。
y=2t×t÷2=t2

(2)
2秒ごとに向きが変わるので地道に調べていくしかない(´・ω・`)

↑移動先をP’、Q’、R’とすると4秒後はこうなる。
PQとP’Q’は平行で長さが等しい
底辺をP’Q’とすると高さはR’方面となり、
底辺の長さは変わらず、Rが右に離れることで高さだけが長くなる。
ここから△PQRの面積は比例で増えていくと考えられる。

P’Q’とP’R’の傾きは45度である点に注目すると、2つの直角二等辺三角形が見つかる。
P’Q’=2√2、P’R’=4√2、∠R’P’Q’=90°
y=2√2×4√2÷2=8

△PQRが平行移動して△P’Q’R’となる。面積は一定。
y=8

↑8秒後の様子。
PQ//P’Q’、PQ=P’Q’
底辺をPQとすると、高さはR方向でR→R’の移動から高さの成分が減る。
PQ→P’Q’で底辺がR’から離れるので、高さの成分が増える。
高さの減少と増加が同時に起こる。ここから面積は一定になるのではないかと推測する。

長方形をつくり、周りの3つの三角形を控除する。
y=4×6-2×2÷2-4×4÷2-2×6÷2=8

↑解答。途中の変化も問われるので難しい。
迷ったら時間はかかるが、3秒後、5秒後など奇数秒後を確かめるのもOK。

(3)

8~10秒後に3点がどう移動するか、正確に描写する。


PRに直線を引く。
PとRは同じ速さで同じ方向に移動するので、直線PRは平行移動する。
ということは、Qが直線PR上にくるときを考えればいい。

直線PRがQのゴール(2、4)と交わるまでの移動距離を計算する。
青い2つの直角三角形の相似から、2×2/6=2/3
直線PRが(2、4)と交わるとき、同じ速さで動くQも2/3移動している。
残りの距離は、2-2/3=4/3
ここからQと直線PRは1の速さで近づいていく。
出会う時間は、4/3÷2=2/3秒後
したがって、0秒後から計算すると、a=8+2/3+2/3=28/3

@別解@

10秒後の様子を考える。
y=4×2÷2=4

ここで前問のグラフの続きを記入する。
どこかで3点が一直線になると△PQRの面積は0となり、10秒後に4となる。
求めたいのは0となる時間…。

線対称の考えで4を下に移動。
2つの直角三角形の相似を利用。辺の比は、8:4=②:①
a=8+2×②/③=28/3
国私立高校入試解説ページに戻る

◆menu◆ 公立高校入試…関東圏メイン。千葉だけ5教科あります。%は正答率。
国私立高校入試…数学科のみ。ハイレベルな問題をそろえてみました。
難関中算数科…中学受験の要。数学とは異次元の恐ろしさ(;´Д`)
難関中社会科…年度別。暗記だけじゃ無理な問題がいっぱい!
難関中理科…物化生地の分野別。初見の問題を現場思考でこなせるか。
難問特色検査…英国数理社の教科横断型思考問題。
センター試験…今のところ公民科だけ(^-^;ニュース記事だけじゃ解けないよ!
勉強方法の紹介…いろいろ雑記φ(・・。)
QUIZ…☆4以上はムズいよ!
◆スポンサードリンク◆
CMで話題の『スタディサプリ』様。
月額1980円で有名講師の神授業が聞き放題!塾プラス+にどうぞ


noteも書いています(っ´ω`c)
入試問題を題材にした読み物や個人的なことを綴っていこうと思います。
気軽にお立ち寄り下さい(*^^*)→サボのnote
サボのツイッターはコチラ→

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。

CAPTCHA