2020年度 早稲田実業高等部過去問【数学】大問3解説

(1)
x、yについての連立方程式
y=ax+2
y=bx-3
が解をもたないための条件を、定数a、bを用いて表せ。

(2)
A、B、C、D、Eを定数とする。
x、yについての4つの方程式
Ax+By=-12 …(ア)
Bx-Ay=16 …(イ)
6x-8y=C …(ウ)
Dx-6y=E …(エ)
は、以下の条件をすべて満たすとする。
条件Ⅰ:(ア
)と(ウ)を連立方程式として解いても、解はない。
条件Ⅱ:(ア)と(エ)を連立方程式として解くと、解はx=8、y=9である。
条件Ⅲ:(ウ)と(エ)を連立方程式として解いた解は、
(ア)と(イ)を連立方程式として解いた解より、xの値は6大きく、yの値は2大きい。
このとき、次の①、②に答えよ。
①A、Bの値をそれぞれ求めよ。
②C、Eの値をそれぞれ求めよ。


@解説@
(1)
2つの式が解を持たない場合とはどういうときか。

グラフに置き換えてみよう。
2つの式が解を持つとき、グラフ上では直線の交点が解となる
解がないということは交わらない。すなわち、2本のグラフは平行
→傾きであるaとbが等しい。
a=b

@留意点@

傾きが同じでも、切片が等しければ
2本の直線が重なってしまう
xにどんな値をいれても式が成立することになる。
解が無数にある方程式を不定といい、解なしの方程式を不能という。

(2)①
Ax+By=-12 …(ア)
6x-8y=C …(ウ)
これらを連立で解くと解がない。

ア)をyについて解くと、
y=-A/Bx-12/B
(ウ)をyについて解くと、
y=3/4x-C/8

解がない→傾きが等しいから、-A/B=3/4→A/B=-3/4
AとBは約分されて-3/4になるかもしれないので、比例定数k(k>0)を用いて、
(A、B)=(-3k、4k)もしくは(3k、-4k)

ここで条件Ⅱより、(ア)はx=8、y=9の解を持つときがある。
8A+9B=-12
これに(A、B)=(-3k、4k)を代入すると、
-24k+36k=12k=-12となり、kが負の数で不適。
よって、(A、B)=(3k、-4k)

8A+9B=24k-36k=-12k=-12
k=1
A=3k=3
B=-4k=-4
A=3、B=-4


(ア)(イ)に前問のA=3、B=-4を代入。
3x-4y=-12
-4x-3y=16
これを解くと、x=-4、y=0

条件Ⅲより、(ウ)(エ)で解いた解は、
x=-4+6=2、y=0+2=2

(ウ)に放り込む。
C=6×2-8×2=-4

今度は、(エ)に放り込む。
2D-12=E…①
条件Ⅱより、(エ)にx=8、y=9を放り込む。
8D-54=E…②

①、②から、2D-12=8D-54
D=7
最後に①に代入。
E=2×7-12=2
C=-4、E=2
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