2021年度 都立日比谷高校過去問【数学】大問4解説

下の図1において、立体ABCD-EFGHはAE=10cmの直方体である。
辺FGをGの方向に延ばした直線上にある点をI、辺EHをHの方向に延ばした直線上にある点をJとし、点Iと点Jを結んだ線分IJは辺GHに平行である。次の各問いに答えよ。

問1
下の図2は、図1において、頂点Aと点Jを結んだ線分AJと辺DHとの交点をK、辺CG上にある点をLとし、頂点Aと点L、点Jと点L、頂点Eと点Iをそれぞれ結んだ場合を表している。
AB=10cm、EI=16cm、CL=DKのとき、△AJLの面積は何cm2か。

問2
下の図3は、図1において、辺FBをBの方向に延ばした直線上にある点をMとし、
点Jと点Mを結んだ直線JMが辺CDと交わる場合を表している。
AB=10cm、EH=5cm、GI=15cmのとき、線分FMの長さは何cmか。
ただし、答えだけでなく、答えを求める過程がわかるように、途中の式や計算なども書け。


下の図4は、図1において、辺IJ上にある点をPとし、頂点Aと頂点C、頂点Aと点P、頂点Cと点P、頂点Eと頂点G、頂点Eと点P、頂点Gと点Pをそれぞれ結んだ場合を表している。
∠EGF=∠GPI=60°、BC=IP=5cmのとき、立体P-ACGEの体積は何cm3か。


@解説@
問1

CL=DKより、LとKは同じ高さにある。
CD//LK、LK=10cm
面AEHD⊥面CGHD
AKは面AEHD上、LKは面CGHD上の線分だからAK⊥LK

△AJLの高さはLK=10cmなので、底辺AJの長さが知りたい。

△AEJと△IJEに着目。
∠AEJ=∠IJE=90°、AE=IJ=10cm、共通辺EJ。
2辺と間の角が等しく、△AEJ≡△IJE
AJ=IE=16cm
したがって、△AJLの面積は、16×10÷2=80cm2

問2

MJはCDが交わるので、この交点をNとする
FJとGHの交点をOとおいて、図形全体を上から眺めると
MJとFJは重なり、面CGHD⊥面EFIJだからNの真下にOがある

ここで、△OFG∽△JFIより、FO:OJ=FG:GI=①:③
四角形BFONは2組の対辺が平行な平行四辺形(正確には長方形)で、BN=FO=①
△MBN∽△MFJより、MB:MF=BN:FJ=1:4
MF=10×4/3=40/3cm

@@
大雑把な流れだけ書きましたが、本問は説明問題なので、
直線や平面の位置関係を丁寧に記述すると骨が折れます(;´Д`)
以下、公式解答を引用。

直方体の2つの側面が平行で、それを横切る平面との交線は平行になる。

問3

△EFGの内角は30°-60°-90°で辺の比は1:2:√3。
EG=5×2=10cm

底面AEGCの面積は10×10=100cm3
立体P-AEGCの高さが知りたい。

△GIPも1:2:√3の直角三角形で∠PGI=30°
PG=5×2=10cm
∠EGI=180-(60+30)=90°
立体P-AEGCの高さはPGである。

したがって、体積は100×10÷3=1000/3cm3
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