2022年度　開成中学過去問【理科】大問２解説

問題ＰＤＦ
　太郎さんはゴムの性質を調べたところ、ゴムは加熱すると縮むことを知りました。そこで、バルーンアートで使う細長い風船を用いて以下のような実験を行いました。後の問いに答えなさい。ただし、割り切れない場合は小数第２位を四捨五入し、小数第１位まで答えなさい。

　バルーンアートで使う風船に空気を入れると風船の一部が膨らみ、風船全体は膨らみませんでした。風船に入れる空気の量を２倍にすると膨らんだ部分の長さが２倍になり、太さはほとんど変わりませんでした。さらに、膨らんでいない部分がなくなるまで風船に空気を入れても、膨らんだ部分の太さはほぼ変化しませんでした。膨らんでいない部分がなくなったところで空気を入れるのをやめました。空気を抜くと、しぼんだ風船の長さは48.6ｃｍでした。しぼんだ風船にドライヤーで温風をあてたところ、長さは36ｃｍになりました。その後、膨らんでいない部分がなくなるまで風船に空気を入れると長さが162ｃｍに、空気を抜くと再び48.6ｃｍになりました。続けて温風をあてると長さが36ｃｍに戻りました。以下の実験では、ドライヤーの温風をあてて36ｃｍに戻した後の風船を使いました。ただし、膨らんだ部分の太さはどこも同じで長さだけが変化するものとし、膨らんでいない部分の空気の体積は考えないものとします。また、空気を右端に移動させるときには、風船の膨らんだ部分がそのまま右へずれていくものとします。

　風船の長さの半分まで空気を入れて膨らませました。残りの半分は膨らむことはなく、風船の長さは99ｃｍになりました（図１）。その後、空気を抜きました。

問１
空気を抜いた後の風船の長さは何ｃｍですか。

　風船の長さの２/３まで空気を入れ、その半分を右端に移動させました（図２）。真ん中のしぼんでいる部分にだけドライヤーで温風をあててから空気をゆっくり抜きました。ただし、空気を抜くときにドライヤーをあてた部分は膨らむことはありませんでした。

問２
空気を右端に移動させた直後の風船の長さは何ｃｍですか。

問３
空気を抜いた後の風船の長さは何ｃｍですか。

　空気を入れない風船と、膨らんでいない部分がなくなるまで空気を入れた風船をそれぞれ冷凍庫に入れ、充分に時間を経過させました。その後、それぞれの風船を取り出し、室温になるまで待ちました。空気を入れた方の風船は空気を抜くと、長さが戻りきらず51.6ｃｍになりましたが、ドライヤーで温風をあてると再び長さが36ｃｍに戻りました。空気を入れなかった方の風船は冷凍庫から取り出しても長さは変化しませんでした。また、室温になってから空気を入れても、冷凍庫に入れる前の風船と変化の仕方は同じでした。

　風船の長さの半分まで空気を入れ、風船を冷凍庫に入れて充分に時間を経過させました。その後、風船を取り出して室温になるまで待ち、空気を抜きました。

問４
空気を抜いた後の風船の長さは何ｃｍですか。

　風船の長さの１/３まで空気を入れ、冷凍庫に入れて充分に時間を経過させました。その後、風船を取り出し、室温になってから風船の中の空気を右端に移動させました（図３）。最後に空気をゆっくり抜きました。空気を抜いているとき、風船は膨らむことはありませんでした。

問５
空気を抜いた後の風船の長さは何ｃｍですか。

　風船を２つ用意し、A・Ｂとしました。Ａの風船に空気を入れ、Ｂの風船にはＡの２倍の量の空気を入れました。Ａの風船の空気を右端へ、Ｂの風船の空気の半分を右端へそれぞれ移動させたところ、Ａの風船の長さが80.1ｃｍ、Ｂの風船の長さが111.6ｃｍになりました（図４）。
　
問６
Ａの風船で、初めに空気を入れた部分の長さは何ｃｍですか。
空気を入れる前の長さで答えなさい。

問２：124.2ｃｍ
空気を全部入れると、162－36＝126ｃｍ伸びた。
空気を２/３まで入れた場合は、126×２/３＝84ｃｍ伸びるので、
36＋84＝120ｃｍ

・・と、ここで終わりたくなるが、図２をよく見てみよう。
空気を右端に移動した後、若干伸びている！
空気を移動させる前の右側の部分は初期状態のままだが、
空気が入っていたところは内側から圧力を受けてゴムが伸びており、
最後の空気が入っていない真ん中は初期状態ではない。

前問より空気を全部入れた場合、空気を抜いた後は12.6ｃｍ伸びていた。
空気が入っていない真ん中は、12.6×１/３＝4.2ｃｍ伸びている。
したがって、120＋4.2＝124.2ｃｍ

＠おさらい＠
膨らませたところだけでなく、空気を通過させたところも伸びる。
膨らませていない、かつ空気が通過していない部分は初期状態のまま。

問３：44.4ｃｍ

真ん中以外の３分の２がドライヤー未加工。
初期状態から12.6×２/３＝8.4ｃｍ伸びている。
よって、空気を抜いた後（ドライヤー前）は、36＋8.4＝44.4ｃｍ

問４：43.8ｃｍ
空気を全部入れて冷やして抜くと51.6ｃｍ。
空気を入れないで冷やすと36ｃｍのまま。
伸びた長さは51.6－36＝15.6ｃｍ
空気半分の場合は、15.6×１/２＝7.8ｃｍ伸びる。
36＋7.8＝43.8ｃｍ
（*36と51.6の平均である）

問５：49.6ｃｍ

３分の１は冷凍で伸びる。
15.６×１/３＝5.2ｃｍ
残りの３分の２は室温で空気を移動させて伸びる。
『室温になってから空気を入れても変化の仕方は同じ』なので、
12.6×２/３＝8.4ｃｍ
よって、36＋5.2＋8.4＝49.6ｃｍ

問６：10ｃｍ

差の111.6－80.1＝31.5ｃｍはどこか？
３分の１ずつに区切って考える。
右端の空気の固まりは一緒。
空気を移動させた真ん中も一緒。
ということは、左端の空気が通過して伸びたＡと空気が入っているＢの差が31.5ｃｍ。

初期状態から空気を全部入れると、36ｃｍから162ｃｍに膨らんだ。
162÷36＝９/２倍
初期状態を基準に空気を抜いた後の伸び率は、48.6÷36＝27/20倍

９/２と27/20を最小公倍数20で統一する。
初期状態を【20】とすると、空気を通過させたＡは【27】、空気を入れて膨らんだＢは【90】。
差の【63】が31.5ｃｍにあたる。
Ａに入れた空気の部分の長さ【20】は、31.5×20/63＝10ｃｍ

＠ガフ・ジュール効果＠
一般的に物質を熱すると膨張し、冷やすと収縮するが、ゴムの場合は逆らしい。。