2022年度 山梨県公立高校入試過去問【数学】解説

平均54.8点(前年比;-4.3点)
最高点―100点、最低点―0点

問題はコチラ→PDFファイル

大問1(計算)

(1) 99%
4-12
=-8

(2) 89%
4/5÷(-4)+8/5
=-1/5+8/5
=7/5

(3) 95%
(-6)2-32
=36-9
=27

(4) 92%
7√3-9/√3
=7√3-3√3
=4√3

(5) 81%
1/6xy×(-18x)
-3x2

(6) 93%
7(2x-y)-(x-5y)
=14x-7y-x+5y
=13x-2y

大問2(小問集合)

(1) 80%
2x2+9x+8=0
解の公式を適用して、x=(-9±√17)/4

(2) 65%
円周角は中心角の半分。
x=232÷2=116°

3) 71%

半径と接線は直交する。Pを通る垂線上に円の中心がある。
反対側の円周上の交点をQとする。
PQが円の直径で、この中点が円の中心。
①垂線と②垂直二等分線の交点が答えになる。

(4) 60%
ア:y=1/5x
イ:y=50/x(反比例)
:y=3x
エ:y=0.8x

*イ以外は比例。

(5) 66%(部分点1%)
全体は、6×6=36通り
10の倍数ごとで場合分け。
積が10→(2、5)(5、2)
積が20→(4、5)(5、4)
積が30→(5、6)(6、5)
もう無い。計6通り。
確率は、6/36=1/6

大問3(整数&数量変化)

(1)① 77%
与式にx=12を代入する。
6×12-2(20-12)
=72-16=56点

② 26%!(部分点11%)

確かにいずれも8の倍数…。
式を変形して、8(  )の形にもっていく

6x-2(20-x)
=8x-40
=8(x-5)
x-5は整数だから、8(x-5)は8の倍数である。
したがって、最終億点は8の倍数になる。

(2)① 54%

PはABの中点。
△PBCの面積は△ABCの半分なので、
8×6÷2÷2=12cm2
*誤答では16、20が見られた。

② 44%

0≦x≦10では高さが長くなる→面積は一次関数(比例)で増加。
x=10のとき、△PBCの面積は△ABCと同じ24cm2
10≦x≦16では高さが短くなる→面積は一次関数で減少。
x=16のとき、△PBCは0cm2
原点→(10、24)→(16、0)を結ぶ。

③ 19%!(部分点23%)

先ほどのグラフでy=20との交点のx座標が答え。
後半は右に1、下に2の傾きで格子点を通過しているので、x=11
前半をどうするか。。

上のような三角形の相似に着目する。
10cm=⑥なので、10×⑤/⑥=25/3
x=25/3、11


大問4(資料問題)

(1)① 79%

5以上~10未満、10以上~15未満…
階級の幅は5回。

② 38%
効率良く比較しないと時間がとられる。
5~10のデータ②は0なので×。
25~30と30~35は度数が同数なので、分母の小さいデータ②が大きい。

10~15と20~25はデータ①とデータ②の度数が同じ。
3/16と2/12=1/6を最小公倍数48で通分すると、9/48
>8/48
データ①が大きい。
15~20は、6/16=
3/8と5/12を比較。9/24<10/24
データ②が大きい。
ウ・オ・カ

(2)① データ①…85%、データ②…83%

第2四分位数(Q2)が中央値(メジアン)。
データ①…19回、データ②…23回

② 27%!(部分点37%)
説明問題。

最大値は同じ。
箱の横の長さ(四分位範囲;Q3-Q1)はデータ①が8、データ②が7でほぼ同じ。
箱全体が右側に寄っているデータ②の方がデータ①より記録が伸びている。
*正解に至らない例として、「すべての四分位数にふれて説明していない、
中央値のみで2つの箱ひげ図を比較、①の箱ひげ図と②の箱ひげ図が比較されていない」。
採点上の注意にあるように、②の箱が①の箱より右にある(a)でも正答なので、
”すべての四分位数に触れる”は(b)の方と思われる。

大問5(関数&平面図形)

(1)① 78%
x=0のとき、最小値y=0
x=6のとき、最大値y=12
0≦y≦12

② 64%
y=1/3x2にx=-3、9を代入して、
A(-3、3)⇒C(9、27)
右に12、上に24だから、傾きは24/12=2
Aから右に3、上に6移動して、切片は3+6=9
y=2x+9

③ 15%!

Bの真上にあり、ACとの交点をDとする。
ACの傾きは2なので、Cから左に3、下に6移動してD(6、21)

AとCを通るy軸に平行な線で△ABCを等積変形。
すると、底辺はAとCのx座標の差12、高さはBとDのy座標の差9となる。
12×9÷2=54

(2)① 19%!(部分点52%)
△ABE∽△ECFの証明。

よくあるタイプである。
×=90°の角度調査。2角相等で∽。
記述の仕方は公式解答を参照してください。

② 5%!!

×=90°を進めて、△ABE∽△ECF∽△FDG

3:2を反時計回りに適用していく。
EC=3-2=1cm
CF=1×2/3=2/3cm
FD=3-2/3=7/3cm
DG=7/3×2/3=14/9cm
AG=3-14/9=13/9cm
AG:GD=13/9:14/9=
13:14


大問6(空間図形)

(1) 68%(部分点1%)
△EPQは等辺が9cmの直角二等辺三角形
辺の比は1:1:√2だから、PQ=9√2cm

(2)AEPQ…34%、RFPS…26%!
三角錘A―EPQの体積は、9×9÷2×6÷3=81cm3

△ABR∽△PFRより、相似比はAB:PF=6:3=2:1
RF=6×1/3=
2cm

△FPS∽△EPQで、△EPQが直角二等辺だから△FPSも同様。
FS=FP=3cm
三角錐R—FPSの体積は、3×3÷2×2÷3=3cm3

(3) 1%!!!
難易度上昇:( ´ω` ):

体積から五角形ARSUTを出そうとすると、高さを求めるのが大変な気がする(;`ω´)
立体全体が左右対称で、△APQは二等辺三角形
△ABR∽△PFRの相似比が②:①で、△PFR≡△SFRだから、
△ABRと△SFRの相似比も②:①。
右側の△ADTと△UHTについても同様のことがいえる。

RSとTUを延長した交点をVとする。
SとUがそれぞれFGとHGの中点であることから、RS=SV=TU=UV
四角形ARVTは1辺が②の菱形
これをうえのように8等分してみると、△RPSと△TUQと合同の三角形で分割できる

底辺RTが2で割り切れるので、二等辺三角形ARTに注目する。
RTは等辺6cmの直角二等辺の斜辺だから6√2cm。
△ABRで三平方→AR=√52cm
△ARTの左半分で三平方→高さは√34cm
△ARTの面積を7/4倍すれば五角形ARSUTがでる。
6√2
×√34÷2×7/4=21√17/2cm2

(4) 2%!!

求積すべき立体は四面体(三角錐)である。
面倒臭そうだが、変形するとスッキリと求められる。

ACの中点をW、RとTと同じ高さにあるAとCの真下をそれぞれX、Yとする。
面WRTとAX、CYが平行であることに注目し、等積変形でAをXに、CをYに移す
すると、立体は正四角錘W―XRYTに変形できる
6×6×4÷3=48cm3


大問は6つだが、幅広い単元から出題されている。
大問1
18点ゲットです。

大問2
ここも全問とりたい。
(2)xの中心角はどこか。
(4)反比例の典型例であった。
大問3
(1)②証明はお馴染みの方法で。
感覚的には全問正解した120点が8の倍数で、
1問間違えると+6が-2に変わり、差が-8だからすべて8の倍数になる。
大問4

(1)②小数ではなく分数で比較すると楽。
(2)②記述の方法を知っていれば難しくはなかった。
大問5
(1)③どうやって等積変形するか。
(2)発想系…に見せかけた処理系(´Д`)
大問6
(2)できればここまでは取りたい。
RF、FS=FPを知るにはどこで相似を使うか。
(3)体積だと計算がややこしくなると思う。。
△APQも△RPSも△TUQも相似の二等辺だから、
二等辺の面積を直接求め、それを何倍するかという方針をとった。
△APQでもできるが、PQ=9√2cmを÷2すると分数がでてくる。
(4)直方体から4つの三角錐をひいても求められる。
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