2021年度 栄光学園中学過去問【算数】大問4解説

問題PDF
1とその数自身のほかに約数がない整数を素数といいます。

ただし、1は素数ではありません。

素数を小さい順に並べていくと、次のようになります。

異なる2つの素数の積となる数を『素積数』と呼ぶことにします。
例えば、2021=43×47となり、43も47も素数であることから、2021は『素積数』です。

素数は『素積数』でありません。
素数以外にも、次のような数は『素積数』ではありません。
・121(=11×11)や169(=13×13)のような、同じ素数の積となる数
・105(=3×5×7)や117(=3×3×13
)のような、3つ以上の素数の積となる数

(1)
偶数の『素積数』のうち、小さい方から7番目の数を答えなさい。

 

連続する整数と『素積数』について考えます。
例えば、33、34、35…はすべて『素積数』です。

(2)
連続する4つの整数がすべて『素積数』であるということはありません。
その理由を説明しなさい。

(3)
100以下の整数のうち、連続する3つの整数がすべて『素積数』であるような組がいくつかあります。
上の例で挙げた33、34、35以外の組を、答え方にならってすべて答えなさい。
【答え方の例】(33、34、35)

(4)
連続する7つの整数のうち6つが『素積数』であるような組を、
答え方の例にならって1つ答えなさい。
【答え方の例】31~37の連続する7つの整数が答えの場合…(31~37)


@解説@
(1)
偶素数(偶数の素数)は2しかない。
奇素数(奇数の素数)の7番目は19だから、2×19=38

(2)
説明問題。
素数は基本的に奇数だが、偶素数2をかければ素積数は偶数となる。
素積数の素因数2は最大で1個だけ
連続する4つの整数には4の倍数があり、4の倍数は素因数2が2個ある。
4の倍数は素数積にならないので、連続する4つの整数すべてが素積数にはならない。

(3)

連続する4つの整数で4の倍数は素積数ではなかった。
ということは、連続する3つの素積数の並びは【奇数・偶数・奇数】となる。

2×(素数)=偶数の素積数を求め、その前後の奇数の素積数を1個ずつ
調べていく(;`ω´)

2×3=6
前後の5と7は素数は素積数ではない×

2×5=10
9は素数の平方数で×。11も素数で×。

2×7=14…13が素数で×
2×11=22…23が素数×
2×13=26…25は5の平方数×。27も×。
2×17=34…例題と一緒で×!
2×19=38…37×
2×23=46…45と47×
2×29=58…59×
2×31=62…61と63×
2×37=74…73と75×
2×41=82…81と83×
2×43=86…85=5×17、87=3×29〇
2×47=94…93=3×31、95=5×19〇
これ以上は100を超してしまう。
したがって、(85、86、87)(93、94、95)
*問題文にのっている素数が登場したら、速やかに×と判断して迅速に調べる。

(4)

連続する7つの整数を詳しくみていく。
このうち6つが素積数なので、まんなかの4の倍数を境に左右3つが素積数となる。
本問も偶数の素積数に注目する。
この2つの差が4であるということは、2とかけ合わせる奇素数の差は2である。

前問の解答から、100以下の整数で題意を満たす組はなかった。
53以降の素数で差が2である組を探して、1つずつ調べていく。
(59、61)⇒(118、122)…117は9の倍数で×、121は11の平方数で×。
(71、73)⇒(142、146)…147が49の倍数で×。
(101、103)⇒(202、206)…207が9の倍数で×。
(107、109)⇒(214、218)…213=3×71、215=5×43、217=7×31、219=3×73
(゚Д゚;≡;゚Д゚)
したがって、
(213~219)

@@
2つの素数の積で表される数(素数の平方数を含む)を半素数というそうです。
難関中(算数科)解説ページに戻る

◆menu◆ 公立高校入試…関東圏メイン。千葉だけ5教科あります。%は正答率。
国私立高校入試…数学科のみ。ハイレベルな問題をそろえてみました。
難関中算数科…中学受験の要。数学とは異次元の恐ろしさ(;´Д`)
難関中社会科…年度別。暗記だけじゃ無理な問題がいっぱい!
難関中理科…物化生地の分野別。初見の問題を現場思考でこなせるか。
難問特色検査…英国数理社の教科横断型思考問題。
センター試験…今のところ公民科だけ(^-^;ニュース記事だけじゃ解けないよ!
勉強方法の紹介…いろいろ雑記φ(・・。)
QUIZ…☆4以上はムズいよ!
noteも書いています(っ´ω`c)
入試問題を題材にした読み物や個人的なことを綴っていこうと思います。
気軽にお立ち寄り下さい(*^^*)→サボのnote
サボのツイッターはコチラ→

コメント

タイトルとURLをコピーしました