問題ＰＤＦ
１とその数自身のほかに約数がない整数を素数といいます。
ただし、１は素数ではありません。
素数を小さい順に並べていくと、次のようになります。
異なる２つの素数の積となる数を『素積数』と呼ぶことにします。
例えば、2021＝43×47となり、43も47も素数であることから、2021は『素積数』です。
素数は『素積数』でありません。
素数以外にも、次のような数は『素積数』ではありません。
・121（＝11×11）や169（＝13×13）のような、同じ素数の積となる数
・105（＝３×５×７）や117（＝３×３×13）のような、３つ以上の素数の積となる数
（１）
偶数の『素積数』のうち、小さい方から７番目の数を答えなさい。
連続する整数と『素積数』について考えます。
例えば、33、34、35…はすべて『素積数』です。
（２）
連続する４つの整数がすべて『素積数』であるということはありません。
その理由を説明しなさい。
（３）
100以下の整数のうち、連続する３つの整数がすべて『素積数』であるような組がいくつかあります。
上の例で挙げた33、34、35以外の組を、答え方にならってすべて答えなさい。
【答え方の例】（33、34、35）
（４）
連続する７つの整数のうち６つが『素積数』であるような組を、
答え方の例にならって１つ答えなさい。
【答え方の例】31～37の連続する７つの整数が答えの場合…（31～37）
＠解説＠
（１）
偶素数（偶数の素数）は２しかない。
奇素数（奇数の素数）の７番目は19だから、２×19＝38
（２）
説明問題。
素数は基本的に奇数だが、偶素数２をかければ素積数は偶数となる。
→素積数の素因数２は最大で１個だけ。
連続する４つの整数には４の倍数があり、４の倍数は素因数２が２個ある。
４の倍数は素数積にならないので、連続する４つの整数すべてが素積数にはならない。
（３）
連続する４つの整数で４の倍数は素積数ではなかった。
ということは、連続する３つの素積数の並びは【奇数・偶数・奇数】となる。
２×（素数）＝偶数の素積数を求め、その前後の奇数の素積数を１個ずつ調べていく。
２×３＝６
前後の５と７は素数は素積数ではない×
２×５＝10
９は素数の平方数で×。11も素数で×
２×７＝14…13が素数で×
２×11＝22…23が素数×
２×13＝26…25は５の平方数×。27も×
２×17＝34…例題と一緒で×！
２×19＝38…37×
２×23＝46…45と47×
２×29＝58…59×
２×31＝62…61と63×
２×37＝74…73と75×
２×41＝82…81と83×
２×43＝86…85＝５×17、87＝３×29〇
２×47＝94…93＝３×31、95＝５×19〇
これ以上は100を超してしまう。
したがって、（85、86、87）（93、94、95）
*問題文にのっている素数が登場したら、速やかに×と判断して迅速に調べる。
（４）
連続する７つの整数を詳しくみていく。
このうち６つが素積数なので、まんなかの４の倍数を境に左右３つが素積数となる。
本問も偶数の素積数に注目する。
この２つの差が４であるということは、２とかけ合わせる奇素数の差は２である。
前問の解答から、100以下の整数で題意を満たす組はなかった。
53以降の素数で差が２である組を探して、１つずつ調べていく。
（59、61）⇒（118、122）…117は９の倍数で×、121は11の平方数で×
（71、73）⇒（142、146）…147が49の倍数で×
（101、103）⇒（202、206）…207が９の倍数で×
（107、109）⇒（214、218）…213＝３×71、215＝５×43、217＝７×31、219＝３×73
したがって、（213～219）
＠＠
２つの素数の積で表される数（素数の平方数を含む）を半素数というそうです。
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