問題ＰＤＦ
下の図のように、半径４ｃｍの円があり、その周上に８つの点
Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈが時計回りに等間隔に並んでいます。
次の問いに答えなさい。
（１）
三角形ＤＥＧの面積を求めなさい。
（２）
三角形ＢＤＧと三角形ＡＢＣの面積の差を求めなさい。
＠解説＠
（１）
ＥＧとＤＨは平行。
ＤＨは正八角形の対角線で、この中心をＯとする。
△ＤＥＧを△ＯＥＧに等積変形すると、△ＯＥＧは直角二等辺三角形。
４×４÷２＝８ｃｍ2
＠＠＠
正八角形は等積変形をよく使うので、この平行線はおさえておこう。
（２）
△ＡＢＣと△ＢＣＤは合同な二等辺三角形。
図形がかぶらない方が見やすいので、△ＢＤＧと△ＢＣＤの差を考える。
先ほどの△ＤＥＧ＝８ｃｍ2が使えないか。
ＤＧとＥＦが平行で、△ＤＦＧに等積変形してみる。
ＤＦとＦＧそれぞれに平行な線をひき、交点をＱとする。
四角形ＧＦＤＱは２組の対辺が平行だから平行四辺形であり、ＧＤは対角線。
△ＧＱＤは△ＤＦＧと合同で８ｃｍ2。
上も同じことをする。△ＧＱＢ＝８ｃｍ2。
平行四辺形の対辺の長さは等しいので、〇はすべて長さが等しい。
ＢＤは共通辺。３辺が等しいから、△ＢＣＤと△ＢＱＤは合同。
△ＢＤＧと△ＢＣＤの差は、△ＧＱＤ＋△ＧＱＢ＝８＋８＝16ｃｍ2
＠別解＠
スチールさんから素晴らしい別解を頂きました。
ＧＣとＢＤの交点をＩ、ＧＣの中点（円の中心）をＯとします。
まずは上半分の△ＢＯＧ（青）＋△ＢＩＯ（紫）と△ＢＣＩ（赤）の差を調べます。
ＧＯ＝ＯＣより、△ＢＯＧと△ＢＣＯ（青）は等積です。
青＋紫－赤は紫が２枚分、すなわち、△ＯＢＩ２つ分です。
上下をあわせると、求めたい差は直角二等辺三角形ＯＢＤ２つ分です。
これは１辺が４ｃｍの正方形なので、４×４＝16ｃｍ2となります。
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