2018年度　学習院中等科過去問【算数】大問５解説

問題ＰＤＦ
下の図１のような台形ＡＢＣＤがあります。
今、点Ｐが点Ｂを出発し、点Ｃを通って点Ｄまで辺の上を一定の速さで進みます（下の図２）。
点Ｐが点Ｂを出発するのと同時に点Ｑが点Ａを出発し、
点Ｂまで辺の上を一定の速さで進みます（下の図３）。

下の図４は２点Ｐ、Ｑが出発してからの時間と
三角形ＰＡＢ、ＱＢＤの面積の関係を表したものです。

このとき、次の問いに答えなさい。
（１）
辺ＡＢの長さを求めなさい。

（２）
２つの三角形の面積が等しくなるのは出発してから何秒後か求めなさい。

（３）
２つの三角形の面積の和が最も大きくなるとき、その面積の和を求めなさい。

（２）
Ｐは、Ｂ→Ｃ→Ｄの７ｃｍを７秒で移動する。
Ｐの速さは秒速１ｃｍ。
Ｐは４秒後にＣに着く。

２つの三角形の面積が等しくなるのは、グラフが交わるところ。
上のように、グラフ上で相似を活用する。
４秒後の△ＱＢＤは、12×４/８＝６ｃｍ²だから、
辺の比は12：６＝２：１
面積が等しくなるのは、４×２/３＝８/３秒後

（３）
２つの三角形の面積の和が最大→２本のグラフ（縦軸）の和が最大になるところを探す。

交点から考えてみよう。
赤と青では、青の方が傾きが急なので増減の度合いが大きい。
→交点から出発して右側にいくと、２つの面積の和は増えていく。
４秒を過ぎると青は変化せず、赤が減っていくので、トータルで減っていく。
よって、４秒後の面積の和を求めればいい。
12＋６＝18ｃｍ²
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