2018年度 学習院中等科入試問題【算数】大問5解説

下の図1のような台形ABCDがあります。
今、点Pが点Bを出発し、点Cを通って点Dまで辺の上を一定の速さで進みます(下の図2)。
点Pが点Bを出発するのと同時に点Qが点Aを出発し、
点Bまで辺の上を一定の速さで進みます(下の図3)。

下の図4は2点P、Qが出発してからの時間と
三角形PAB、QBDの面積の関係を表したものです。

このとき、次の問いに答えなさい。
(1)
辺ABの長さを求めなさい。

(2)
2つの三角形の面積が等しくなるのは出発してから何秒後か求めなさい。

(3)
2つの三角形の面積の和が最も大きくなるとき、その面積の和を求めなさい。


@解説@
(1)
Qが0秒後のとき、△QBDは12cm2
このとき、底辺はAB、高さはBC(4cm)なので、
ABの長さは、12×2÷4=6cm

(2)
Pは、B→C→Dの7cmを7秒で移動する。
Pの速さは秒速1cm。
Pは4秒後にCに着く。

2つの三角形の面積が等しくなるのは、グラフが交わるところ。
上のように、グラフ上で相似を活用する。
4秒後の△QBDは、12×4/8=6cm2だから、
辺の比は12:6=2:1
面積が等しくなるのは、4×2/3=8/3秒後

(3)
ここで差が少し開くと思われる。
2つの三角形の面積の和が最大→2本のグラフ(縦軸)の和が最大になるところを探す。

交点から考えてみよう。
では、の方が傾きが急なので増減の度合いが大きい
ということは、交点から出発して右側にいくと、2つの面積の和は増えていく。
4秒を過ぎるとは変化せず、が減っていくので、トータルで減っていく。
よって、4秒後の面積の和を求めればいい。
12+6=18cm2
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