問題ＰＤＦ
下の図のように平行四辺形ＡＢＣＤがあり、点Ｅは辺ＢＣ上の点、点Ｆは辺ＡＢ上の点、点Ｇは直線ＤＦと直線ＡＥの交わる点です。四角形ＡＥＣＤの面積が三角形ＡＢＥの面積の２倍で、四角形ＢＥＧＦと三角形ＢＤＦの面積が等しいとき、次の各問いに答えなさい。
（１）
ＡＧ：ＧＥを求めなさい。
（２）
三角形ＡＦＧの面積は、四角形ＡＢＣＤの面積の何倍ですか。
＠解説＠
（１）
四角形ＡＢＣＤは平行四辺形。
△ＡＢＥ：四角形ＡＥＣＤ＝ＢＥ：（ＡＤ＋ＥＣ）＝①：②
平行四辺形の対辺ＡＤ＋ＢＣの和が③
比を整数に統一するために和を⑥とすると、ＡＤ＝ＢＣ＝③
ＢＥ：ＥＣ＝②：①
求めたいのはＡＧ：ＧＥ。
与えられた情報が面積だけなので、面積比でどうにかならないか。
ＤＥに補助線。
ＡＧ：ＧＥ＝△ＤＡＧ：△ＤＧＥ←これが知りたい。
△ＤＥＣの面積を①とすると、ＢＥ：ＥＣ＝②：①から△ＤＢＥ＝②
ＡＤ：ＥＣ＝③：①から△ＤＡＥ＝③
ここで、四角形ＢＥＧＦ＝△ＢＤＦを使う。
２つの図形から共通部分を抜いた★は等積である。
ということは、△ＤＢＥ＝△ＤＧＥ＝②
△ＤＡＧ＝③－②＝①
ＡＧ：ＧＥ＝△ＤＡＧ：△ＤＧＥ＝１：２
（２）
Ｆが絡む比が欲しい。
ＤＦとＣＢを外側延長、交点をＨとする。
△ＡＧＤ∽△ＥＧＨより、ＨＥ＝３×２＝６
ＨＢ＝６－２＝４
今度は△ＡＦＤ∽△ＢＦＨに注目して、ＡＦ：ＦＢ＝３：４
方針；【△ＡＢＣ→△ＡＢＥ→隣辺比で△ＡＦＧ】
１×１/２×２/３×（３×１）/（７×３）＝１/21倍
＠別解＠
等積の条件からＢＧとＥＤは平行、これを利用する解法を考えてみました。
ＡＧ：ＧＥ＝△ＡＢＧ：△ＧＢＥ＝①：②
ＢＥ：ＡＤ＝△ＡＢＥ：△ＡＥＤ＝③×３/２＝〇4.5
△ＡＧＤ＝〇4.5×１/３＝〇1.5
等積変形から△ＢＥＧ＝△ＢＤＧ＝②
ＡＦ：ＦＢ＝△ＡＧＤ：△ＢＧＤ＝３：４
ＦＧ：ＧＤ＝△ＡＢＧ：四角形ＡＧＢＤ＝２：７
△ＡＦＧの面積は、１×１/２×３/７×２/９＝１/21倍
難関中（算数科）解説ページに戻る
国私立高校入試…数学科のみ。ハイレベルな問題をそろえてみました。
難関中算数科…中学受験の要。数学とは異次元の恐ろしさ(;´Д｀)
難関中社会科…年度別。暗記だけじゃ無理な問題がいっぱい！
難関中理科…物化生地の分野別。初見の問題を現場思考でこなせるか。
難問特色検査…英国数理社の教科横断型思考問題。
センター試験…今のところ公民科だけ(^-^;ニュース記事だけじゃ解けないよ！
勉強方法の紹介…いろいろ雑記φ(・・。)
ＱＵＩＺ…☆４以上はムズいよ！
ｎｏｔｅも書いています(っ´ω`c)
入試問題を題材にした読み物や個人的なことを綴っていこうと思います。
気軽にお立ち寄り下さい(*^^*)→サボのｎｏｔｅ
サボのツイッターはコチラ→
コメント