2020年度 浅野中学過去問【算数】大問5解説

円周上に書かれた点を順に結んでできる星型の多角形について、
次の問いに答えなさい。

(1)
〔図12〕のように、円周上に異なる5個の点1、2、3、4、5を反時計まわりに取り、1→3→5→2→4→1と点1から反時計まわりに
、2つ先の点を順に結んでできる星型の多角形を5/2角形とよぶことにします。〔図12〕のような5/2角形の印のついた角の和を{5/2}と書くことにするとき、{5/2}を求めなさい。

(2
(1)と同じように、円周上に異なるX個の点1、2、3…Xを反時計まわりに取り、点1から反時計まわりに、Y個先の点を順にすべての点を結んで星型の多角形ができるとき、できる星型の多角形をX/Y角形とよぶことにします。また、X/Y角形の角の和を{X/Y}と表すことにします。
〔図13〕のような7/3角形の印のついて角の和{7/3}を求めるために、〔図14〕のように、点3と点5を結んでみます。すると、{7/3}={5/ア}=イ度となることがわかります。
ア、イにあてはまる数をそれぞれ求めなさい。

(3)
{9/2}を求めなさい。

(4)
{9/ウ}=180度となる数ウをすべて求めなさい。
ただし、答えが2つ以上になる場合は「2、3」のように答えと答えの間に「、」をつけなさい。


@解説@
(1)
問題集によくあるパターンなので、直感で解答できた生徒は多かったと思う。

左:外角定理を2回つかって、1つの三角形にまとめる。
右:ブーメランの股の部分に3つを集め、対頂角で1つの三角形にまとめる。
180°

(2)

チョウチョ型。
2つの三角形は対頂角が等しいので、残りの2角の和が等しくなる。
a+b=c+d
すると、(1)と同じく、星型の先端5つの角の和に相当する。
ア…2、イ…180

(3)
下書きがあるので書いてみよう(‘Д’)

先端の9つの和が知りたい。

@求め方1@

外側に九角形を作成。
九角形の内角の和からをすべてひく。
の和は、外側にある9つの三角形の内角の和から、
対頂角で移動させた、内側の9角形の内角の和をひく。
180×(9-2)-{180×9-180×(9-2)}
=180×5=900°

@求め方2@

多角形の外角の和は360°
内側の九角形において、時計回りの外角()と反時計回りの外角()の和がそれぞれ360°。
外側の9つの三角形の内角の和から、
180×9-360×2=180×9-180×2×2=180×5=900°
これが最もシンプルなやり方かな?

(4)
これも下書きに書いてみよう╭( ・ㅂ・)و ̑̑
7は2と同じで角の和は900°になる。
3と6は『すべての点を結べない』ので条件から外れる。

となると、同じ形の
4と5が正解なのでは?(´-`).。oO
でも、ごちゃごちゃしていて和が180°なのか確かめにくい…。

ただ、(2)で{7/3}={5/2}だったので、
{9/4}={7/3}={5/2}といえるのではないかと想像はできる。

赤のブーメラン(1・5・6)、青のブーメラン(3・4・8)の股に集める。
対頂角で移動。緑のブーメラン(赤・青・9)の股に集めて対頂角。
すると、3つの☆となり、三角形の内角の和180°に相当する。
「4、5」
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