2020年度　浅野中学過去問【算数】大問５解説

問題ＰＤＦ
円周上に書かれた点を順に結んでできる星型の多角形について、
次の問いに答えなさい。

（１）
〔図12〕のように、円周上に異なる５個の点１、２、３、４、５を反時計まわりに取り、１→３→５→２→４→１と点１から反時計まわりに、２つ先の点を順に結んでできる星型の多角形を５/２角形とよぶことにします。〔図12〕のような５/２角形の印のついた角の和を{５/２}と書くことにするとき、{５/２}を求めなさい。

（２）
（１）と同じように、円周上に異なるＸ個の点１、２、３…Ｘを反時計まわりに取り、点１から反時計まわりに、Ｙ個先の点を順にすべての点を結んで星型の多角形ができるとき、できる星型の多角形をＸ/Ｙ角形とよぶことにします。また、Ｘ/Ｙ角形の角の和を{Ｘ/Ｙ}と表すことにします。
〔図13〕のような７/３角形の印のついて角の和{７/３}を求めるために、〔図14〕のように、点３と点５を結んでみます。すると、{７/３}＝{５/ア}＝イ度となることがわかります。
ア、イにあてはまる数をそれぞれ求めなさい。

（３）
{９/２}を求めなさい。

（４）
{９/ウ}＝180度となる数ウをすべて求めなさい。
ただし、答えが２つ以上になる場合は「２、３」のように答えと答えの間に「、」をつけなさい。

＠解説＠
（１）
問題集によくあるパターンなので、直感で解答できた生徒は多かったと思う。

左：外角定理を２回つかって、１つの三角形にまとめる。
右：ブーメランの股の部分に３つを集め、対頂角で１つの三角形にまとめる。
180°

（２）

チョウチョ型。
２つの三角形は対頂角が等しいので、残りの２角の和が等しくなる。
ａ＋ｂ＝ｃ＋ｄ
すると、（１）と同じく、星型の先端５つの角の和に相当する。
ア…２、イ…180

（３）
下書きがあるので書いてみよう(‘Д’)

先端の９つの和が知りたい。

＠求め方１＠

外側に九角形を作成して、九角形の内角の和から●をすべてひけばいい。
●の和は、外側にある９つの三角形（斜線部）の内角の和から、
対頂角で移動させた、内側の９角形の内角の和をひく。
180×（９－２）－{180×９－180×（９－２）}
＝180×５＝900°

＠求め方２＠

多角形の外角の和は360°。
内側の九角形において、時計回りの外角（●）と反時計回りの外角（●）の和がそれぞれ360°。
外側の９つの三角形（斜線部）の内角の和から、●９個と●９個の和360をひく。
180×９－360×２＝180×９－180×２×２＝180×５＝900°
これが最もシンプルなやり方かな？

（４）
これも下書きに書いてみよう╭( ・ㅂ・)و ̑̑
７は２と同じで角の和は900°になる。
３と６は『すべての点を結べない』ので条件から外れる。

となると、同じ形の４と５が正解なのでは？（´-`）.｡oO
でも、ごちゃごちゃしていて和が180°なのか確かめにくい…。

ただ、（２）で｛７/３｝＝｛５/２｝だったので、
｛９/４｝＝｛７/３｝＝｛５/２｝といえるのではないかと想像はできる。

赤のブーメラン（１・５・６）、青のブーメラン（３・４・８）の股に集める。
対頂角で移動。緑のブーメラン（赤・青・９）の股に集めて対頂角。
すると、３つの☆（２・７・青赤９）となり、三角形の内角の和180°に相当する。
「４、５」
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