2021年度 洛星中学過去問【算数】大問5解説

対角線の長さが8cmの正方形のタイルがあります。このタイルを、回転させることなく、下の図の向きのまま(ア)から(エ)に示すような太線の枠の中を動かします。

それぞれの場合について、枠の中でタイルが通れない部分の面積を求めなさい。
ただし、枠の厚みや釘の太さは考えないものとします。


@解説@
(ア)

四隅が通れない。
合わせると、1辺4cmの正方形が2つ。
4×4×2=32cm2

(イ)
釘が打たれましたワ
(´゚д゚`)

釘の中には入れないので、上と右にタイルをくっつける。
正方形の対角線の半分である4cmと直角二等辺三角形をうまく使い、
左下の通れない部分を確定する(;`ω´)
上にくっつけるとタイルの中点に釘があたる。
右にくっつけると下から5cmのところに釘があるので、
タイルの左の頂点は外枠から1cm右側で止まる。

このように分割。
5×5÷2+2×1÷2+2×2÷2=15.5cm2
残りの3つの角を足し忘れないように!
15.5+32×3/4=39.5cm2

(ウ)

上の部分を調査。
対角線が8cmなので、上から8cmのところでタイルが止まる。
通れない部分は、底辺4cm、高さの合計が8cmである2つの三角形の和。
4×8÷2=16cm2

↑図が縦長になってしまいました。。
対角線の半分である4cmを手がかりに、タイルの中心は上から16cm。
左右のタイルの中心は距離が16-4×2=8cm。
これを底辺に移動すると、通れない隅の底辺の長さの和は20-8=12cm
12×4÷2=24cm2

したがって、16+24=40cm2

(エ)
難しい:;(∩´_`∩);:
時間がたっぷりあれば正答率は上がるだろうが、時間内に終わらせるのは至難。


いったん釘を無視する。
前問の図を頼りにタイルが外枠に接したとき、釘がどこにあるかを確定する。
ポイントは、縦と横の比が2:1の直角三角形
AB=4cm、CB=4÷2=2cm
Bの右3cm、上7cmに釘がある
Aからたどると右に3cm、上に3cmに釘だから、
ちょうどタイルの辺上に釘があるじゃありませんか
⊂( ・∀・) 彡 =͟͟͞͞(✹)`Д´))

釘の上にもタイルを設置。通れない範囲に△AEFが追加される。
縦:横=2:1の直角三角形より、DE=3÷2=1.5cm
高さの合計はタイルの対角線の半分である4cmに相当する。
△AEFの面積…1.5×4÷2=3cm2

したがって、40+3=43cm2
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