2018年度 渋谷教育学園幕張中学過去問【算数】大問6解説

図のような直方体があり、辺AB上に点Pを、辺BC上に点Qを、PBとQBの長さがどちらも2cmになるようにとります。また、辺EF上に点Rを、辺FG上に点Sを、RFとSFの長さがどちらも6cmになるようにとります。4点P、Q、R、Sを通る平面でこの直方体を切り、点Aを含むほうの立体を(あ)とします。

このとき、次の各問いに答えなさい。
ただし、角すいの体積は、(底面積)×(高さ)÷3で求められるものとします。

(1)
立体(あ)の体積は何cm3ですか。

(2)
立体(あ)を面PQRSが底面になるように平らなゆかの上におきます。
このとき、点Dはゆかから何cmの高さにありますか。


@解説@
(1)
典型問題なので、ここは取りたい。

三角錐O-PBQと三角錐O-RFSの辺の比は1:3。
→体積比は辺の比の3乗で1:27。
Aを含まない立体(三角錐O-RFSの下の部分)は、
6×6÷2×12÷3×26/27=208/3cm3

直方体からこれを除いて、(あ)の体積を求める。
10×12×8-208/3=2672/3cm3

(2)
難問です:;(∩´_`∩);:

指針としては、断面PRSQの面積を求め、
これを底面としたときの四角錘DーPRSQの高さを出す。

(1)の三角錐O-PBQは、底辺の三角形の1辺と錘の高さが1:2
ここから例の展開図を作成。

三角錐O-PBQを展開すると正方形になる。
(知識問題ですが、中学受験の算数では必ず授業で習う有名錐なので使えるようにしておこう!)
正方形から周りの3つの三角形をひくと、△OPQは6cm2となる。

△OPQ∽△ORSより、辺の比が1:2なので面積比は1:4。
△ORS=6×4=24cm2
四角形PRSQ=18cm2

このあとが手詰まる(;`ω´)
DOを結んでみよう
【三角錐O-DPQ⇒四角錘D-PRSQ】

△DPQの面積は、長方形ABCD内で周りにある3つの三角形をひく。
△DPQ=10×12-10×10÷2ー12×8÷2-2=20cm2
OB:BF=1:3より、OB=4cm
三角錐O-DPQの体積は、20×4÷3=80/3cm3
面PRSQは面OPQと同一平面。
△OPQ:四角形PRSQ=6:18=1:3より、
四角錘DーPRSQ=80/3×3=80cm3

よって、80×3÷18=40/3cm

@@
求める答えは三角錐O-DPQの高さでもあるので、
80/3×3÷6=40/3cmでいけますな(σ’д’)σ
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