2018年度　渋谷教育学園幕張中学過去問【算数】大問６解説

問題ＰＤＦ
図のような直方体があり、辺ＡＢ上に点Ｐを、辺ＢＣ上に点Ｑを、ＰＢとＱＢの長さがどちらも２ｃｍになるようにとります。また、辺ＥＦ上に点Ｒを、辺ＦＧ上に点Ｓを、ＲＦとＳＦの長さがどちらも６ｃｍになるようにとります。４点Ｐ、Ｑ、Ｒ、Ｓを通る平面でこの直方体を切り、点Ａを含むほうの立体を（あ）とします。

このとき、次の各問いに答えなさい。
ただし、角すいの体積は、（底面積）×（高さ）÷３で求められるものとします。

（１）
立体（あ）の体積は何ｃｍ³ですか。

（２）
立体（あ）を面ＰＱＲＳが底面になるように平らなゆかの上におきます。
このとき、点Ｄはゆかから何ｃｍの高さにありますか。

＠解説＠
（１）

ＲＰ、ＣＱ、ＦＢを延長した交点をＯとする。
三角錐Ｏ－ＰＢＱと三角錐Ｏ－ＲＦＳの相似比は１：３。
→体積比は相似比の３乗で１：27。
Ａを含まない立体（角錐台ＰＢＱ―ＲＦＳ）は、
６×６÷２×12÷３×26/27＝208/３ｃｍ³

直方体からこれを除いて、（あ）の体積を求める。
10×12×８－208/３=2672/３ｃｍ³

（２）
難問です:;(∩´＿`∩);:

断面ＰＲＳＱを底面としたときの四角錘ＤーＰＲＳＱの高さを求める。
（１）の三角錐Ｏ－ＰＢＱは、底辺の三角形の１辺と錘の高さが１：２であった。
ここから例の展開図を作成。

三角錐Ｏ－ＰＢＱを展開すると正方形になる。
（知識問題ですが、中学受験の算数では必ず授業で習う有名錐なので使えるようにしておこう！）
正方形から周りの３つの三角形をひくと、△ＯＰＱは６ｃｍ²となる。

このあとが手詰まる。。
ここで、四角形ＰＲＳＱと△ＯＰＱは同一平面にあることに注目する。
面ＰＲＳＱが底面になる場合＝面ＯＰＱが底面になる場合。
ということは、四角錘Ｄ―ＰＲＳＱの高さは三角錐Ｄ―ＯＰＱと同じである！
ＤＯを結んでみよう。

△ＤＰＱの面積は、長方形ＡＢＣＤ内で周りの３つの三角形をひく。
△ＤＰＱ＝10×12－10×10÷２ー12×８÷２－２＝20ｃｍ²
三角錐Ｏ－ＤＰＱの体積は、20×４÷３＝80/３ｃｍ³
三角錐Ｏ－ＤＰＱの高さは、80/３×３÷６＝40/３ｃｍ
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