2019年度 筑波大附属中学入試問題【算数】後半7~11解説

(7)
A、B、C、D、Eの5人のテストの得点について、次のことがわかっています。

・A、B、C、D、Eの5人の得点の平均は86点である。
・A、Bの2人の得点の平均は、D、Eの2人の得点の平均より5点高い。
・B、Cの2人の得点の平均は、D、Eの2人の得点の平均より2点低い。
・Dの得点は、Cの得点より4点低い。

Cの得点が84点のとき、A、Eの2人の得点の合計は何点ですか。

(8)
同じ大きさの立方体の積み木を積み上げて立体をつくりました。
下の図は、つくった立体を、真正面、真上の2つの方向から見たものです。
このように見える立体は、全部で何通りつくることができますか。

(9)
図1は、厚紙でつくられた立方体です。
この立方体を辺にそって切り開いたら、図2のようになりました。
図2のようになるには、立方体の辺をいくつ切ればよいですか。

(10)
点Pを通り、三角形ABCの面積を2等分する直線を、解答用紙にかき入れなさい。
 

(11)
次の図は、2つを合わせると立方体ABCD-EFGHになる立体を厚紙でつくったものです。
この立法の展開図において、四角形AJGKと三角形JFGを表したものを選びなさい。
ただし、J、KはBF、DHの中点とします。



@解説@
(7)
C=84点
D=84-4=80点

(A+B)÷2=(D+E)÷2+5 ←すべて2倍
(A+B)=(D+E)+10 …①
(B+C)÷2=(D+E)÷2-2 ←同じく2倍
(B+C)=(D+E)-4 …②
①、②から、(D+E)を基準にすると、(A+B)が(B+C)より14大きい
(A+B)=(B+C)+14 
両辺からBを除外。A=C+14=80+14=94点

A~Eの平均が86点なので、
A~Eの総和は86×5=430点
430-(94+84+80)=168 …B+E
①より、(A+B)=(D+E)+10
A=98、D=80は、〔A=D+18〕なので(右辺に+18)、
上の式を成り立たせるには、〔B+8=E〕をする(左辺に+8)。
つまり、BとEの差は8で、B<E。

BとEの和差がわかったので線分図。
B=(168-8)÷2=80点
E=80+8=88点
答えは、A+E=98+88=186点
処理手順が多い。他に鮮やかな解法あるかな・・。

(8)
正面から見ると、左右ともに2段。
上からみた図で考える

左は(1、1、1)がないから、2×2×2-1=7通り
右は(1、1)の組合せがないので、2×2-1=3通り
3×7=21通り

(9)

図2の展開図で、切れていない辺(面同士がつながるところ)は5本。
立方体の辺は12本だから、切るべき辺は12-5=7本。
今年の栄光学園で詳しい設問が出題されています。
立体から何本の辺を切れば平面に直せるか。一度は触れておきたいですね(*’ω’*)

(10)

Cを通り、PBに平行な線をひき、ABの延長線との交点をC’とおく。
CC’は下に1マス、左に3マスの傾きで下がるので、C’は2マス外にある。
△CPBと△C’PBは等積変形で一緒。
ということは、△ABC=△AC’Pとなる。
AC’は横12マス分なので、AC’上で6マス目の点とPを結んだ線が答え。

(11)

四角形AJGKは、4つの合同な直角三角形の斜辺なので長さが等しい。
→四角形AJGKは菱形。

対角線AGとJKの関係を考える。
JKを平行に下にズラすと、底面の正方形EFGHの対角線と同じ。
JK→FH→EGと視点を変える。
AGとEGを比較すると、AG>EG。
よって、AG>JKとなるから、エ。
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