2022年度 渋谷教育学園幕張中学過去問【算数】大問3解説

3種類のロウソクA、B、Cがあります。3本のロウソクは火をつけるとそれぞれ一定の割合で燃えます。Aに火をつけてから10分後にBに火をつけ、そのさらに5分後にCに火をつけたところ、ロウソクCが最初に燃え尽き、その後ロウソクA、Bが同時に燃え尽きました。下のグラフは、Aに火をつけてからすべてのロウソクが燃え尽きるまでの時間と、最も長いロウソクと最も短いロウソクの長さの差の関係を表したものです。また、燃え尽きてしまったロウソクの長さは0cmであると考えます。次の各問いに答えなさい。

(1)
次の①、②において、最も長いものと最も短いものの組(最も長い、最も短い)を、
下の(ア)~(カ)から選び、記号で答えなさい。
①ロウソクA、B、Cについて、火をつける前の長さ
②ロウソクA、B、Cについて、1分間に燃える長さ
(ア)(A、B) (イ)(A、C) (ウ)(B、A)
(エ)(B、C) (オ)(C、A) (エ)(C、B)

(2)
ロウソクA、B、Cについて、火をつける前の長さをそれぞれ求めなさい。


@解説@
(1)

赤線に注目すると、Aの着火からグラフが上昇している。
もし、Aの長さが最大値ならば、最小値との差は縮小するのでグラフは右下がりになる。
もし、Aが2番目の長さだったら、最大値と最小値の差は変わらないので横ばいになる。
右上がりということは、火をつける前の長さはA
が最も最小である。

グラフの最後にAとBが同時に消える。
最も長さの短いAが最初から最後まで火がついていた→Aが最も燃えにくい

今度は青線に注目する。
この時点のAは最小値だから、燃えていても何も越さない。
青線で最大値と最小値の差が縮小するということは、最大値のBが燃え始めたということ。
すなわち、ここが10分後となる。

10分後にB着火。AとBは最後で同時に燃え尽きるので、BがAを追い越すことはない
ということは、でBがCを追い越し、最大値がBからCにチェンジして差が拡大する。
Cは先に着火したBを追い越したから、最も燃えやすいのはC

〔火をつける前の長さ〕最も長い…B、最も短い…A
〔1分間に燃える長さ〕最も長い…C、最も短い…A
①:ウ、②:オ

(2)
続きを検証する。

その後、差が縮まったのはCが着火したから。これで3本すべてに火がついたことになる。
BはAを追い越さないので、Cは先にBを追い越す。
続いて40分後にAを追い越して、50分後に燃え尽くしたことになる。
Cが燃え尽くすと最小値は0cmで固定され、ABがそれを追いかけて同時に燃え尽きた。

最初の6cmは最小値Aと最大値Bの差なので、B=A+6
最初の10分はAしか燃えていない。
10分で4cmの差が開いたから、Aは1分あたり0.4cm燃える
ここからどうしよう。。

数値が判明しているに着目する
B-Aは傾きが一緒なので一直線で結ぶと、AとBが同時に消える点にぶつかる。
三角形の相似で、?=30×4/6=20分
Aは40+20=60分燃えていた。
Aの長さは、0.4×60=24cm
Bの長さは、24+6=30cm

Cの長さはCを着火した15分後をみる。
このとき、Aの長さは、24-0.4×15=18cm
C>Aの差が10cmだから、Cの長さは28cm。
A:24cm、B:30cm、C:28cm
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