問題ＰＤＦ
３種類のロウソクＡ、Ｂ、Ｃがあります。３本のロウソクは火をつけるとそれぞれ一定の割合で燃えます。Ａに火をつけてから10分後にＢに火をつけ、そのさらに５分後にＣに火をつけたところ、ロウソクＣが最初に燃え尽き、その後ロウソクＡ、Ｂが同時に燃え尽きました。下のグラフは、Ａに火をつけてからすべてのロウソクが燃え尽きるまでの時間と、最も長いロウソクと最も短いロウソクの長さの差の関係を表したものです。また、燃え尽きてしまったロウソクの長さは０ｃｍであると考えます。次の各問いに答えなさい。
（１）
次の①、②において、最も長いものと最も短いものの組（最も長い、最も短い）を、
下の（ア）～（カ）から選び、記号で答えなさい。
①ロウソクＡ、Ｂ、Ｃについて、火をつける前の長さ
②ロウソクＡ、Ｂ、Ｃについて、１分間に燃える長さ
（ア）（Ａ、Ｂ） （イ）（Ａ、Ｃ） （ウ）（Ｂ、Ａ）
（エ）（Ｂ、Ｃ） （オ）（Ｃ、Ａ） （エ）（Ｃ、Ｂ）
（２）
ロウソクＡ、Ｂ、Ｃについて、火をつける前の長さをそれぞれ求めなさい。
＠解説＠
（１）
赤線に注目すると、Ａの着火からグラフが上昇している。
もし、Ａの長さが最大値ならば、最小値との差は縮小するのでグラフは右下がりになる。
もし、Ａが２番目の長さだったら、最大値と最小値の差は変わらないので横ばいになる。
右上がりということは、火をつける前の長さはＡが最も最小である。
グラフの最後にＡとＢが同時に消える。
最も長さの短いＡが最初から最後まで火がついていた→Ａが最も燃えにくい。
今度は青線に注目する。
この時点のＡは最小値だから、燃えていても何も越さない。
青線で最大値と最小値の差が縮小するということは、最大値のＢが燃え始めたということ。
すなわち、ここが10分後となる。
10分後にＢ着火。ＡとＢは最後で同時に燃え尽きるので、ＢがＡを追い越すことはない。
→★でＢがＣを追い越し、最大値がＢからＣにチェンジして差が拡大する。
Ｃは先に着火したＢを追い越したから、最も燃えやすいのはＣ。
〔火をつける前の長さ〕最も長い…Ｂ、最も短い…Ａ
〔１分間に燃える長さ〕最も長い…Ｃ、最も短い…Ａ
①：ウ、②：オ
（２）
続きを検証する。
その後、差が縮まったのはＣが着火したから。これで３本すべてに火がついたことになる。
ＢはＡを追い越さないので、Ｃは先にＢを追い越す。
続いて40分後にＡを追い越して、50分後に燃え尽くしたことになる。
Ｃが燃え尽くすと最小値は０ｃｍで固定され、ＡＢがそれを追いかけて同時に燃え尽きた。
最初の６ｃｍは最小値Ａと最大値Ｂの差なので、Ｂ＝Ａ＋６
最初の10分はＡしか燃えていない。
10分で４ｃｍの差が開いたから、Ａは１分あたり0.4ｃｍ燃える。
数値が判明している★に着目する。
Ｂ－Ａは傾きが一緒なので一直線で結ぶと、ＡとＢが同時に消える点にぶつかる。
三角形の相似で、？＝30×４/６＝20分
Ａは40＋20＝60分燃えていた。
Ａの長さは、0.4×60＝24ｃｍ
Ｂの長さは、24＋６＝30ｃｍ
Ｃの長さはＣを着火した15分後をみる。
このとき、Ａの長さは、24－0.4×15＝18ｃｍ
Ｃ＞Ａの差が10ｃｍだから、Ｃの長さは28ｃｍ。
Ａ：24ｃｍ、Ｂ：30ｃｍ、Ｃ：28ｃｍ
難関中（算数科）解説ページに戻る
コメント