2022年度 渋谷教育学園幕張中学過去問【算数】大問2解説

赤、青、黄、緑の4色を点灯することができるライトを4つ、左から一列に並べます。
この4つのライトは、スイッチを押すたびにある規則にしたがって色が切り替わります。

例えば、上の図のように

赤を青、青を青、黄を緑、緑を赤

に切り替わるような規則を定めると、スイッチを押すたびに、
この規則にしたがって色が変わっていきます。
はじめ、ライトは左から順に赤、青、黄、緑に点灯しています。
次の各問いに答えなさい。

(1)
はじめの状態からスイッチを1回押したとき、
異なる4色のライトが点灯するような規則は何通り作れますか。

(2)
はじめの状態からスイッチを2回続けて押したとき、
ライトが左から順に赤、青、黄、緑に点灯するような規則は何通り作れますか。

(3)
はじめの状態からスイッチを3回続けて押したとき、
4つのライトは初めて赤一色になりました。このような規則は何通り作れますか。


@解説@
(1)
点灯の規則を答えるが、初期状態が異なる4色であり、
スイッチを1回押したあとの結果も異なる4色ということは、
とどのつまり、4色の配置換えである。
順列の考えで、44
24通り

(2)

2回押して元に戻る。

同色を維持。1通り

2色を交換して元に戻る。
Aを赤とすると、赤とペアになるBが決まれば全て決まる。
Bは赤以外の3通り。
(*4人を2チームに分ける考え方で、42÷2=3でもOK)

1ペアを交換にして、残りの2色を同色維持にする。
交換する2色を選ぶ。42=6通り
計10通り。

(3)

3回押したら初めてすべて赤になった。
奇数回なので、先ほどのように2色の交換では戻れない

先に赤から始まり赤で終わるパターンを考える。
わかりやすいのは、赤→赤の規則で同色を維持する【赤→赤→赤→赤】。

異色を経由するのはどうか?
2色の交換は無理なので、赤→青→黄…の3色で試すと、
青と黄は1周して元の色に戻るので、赤にすることができない!
ということは、赤→赤が確定

もう1つ配慮すべきは、3回押したあとに初めて赤一色になった点
途中で赤赤赤赤にはならない。

一度、赤にすれば赤が継続する。
3色を3手目で全て赤にするには、1個ずつ順番に赤に変えていく他ない
青黄緑のうち、1手目で赤にする色、2手目で赤にする色、3手目で赤にする色を選ぶ。
順列の考えで、33=3×2×1=6通り
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