2022年度　渋谷教育学園幕張中学過去問【算数】大問２解説

問題ＰＤＦ
赤、青、黄、緑の４色を点灯することができるライトを４つ、左から一列に並べます。
この４つのライトは、スイッチを押すたびにある規則にしたがって色が切り替わります。

例えば、上の図のように

赤を青、青を青、黄を緑、緑を赤

に切り替わるような規則を定めると、スイッチを押すたびに、
この規則にしたがって色が変わっていきます。
はじめ、ライトは左から順に赤、青、黄、緑に点灯しています。
次の各問いに答えなさい。

（１）
はじめの状態からスイッチを１回押したとき、
異なる４色のライトが点灯するような規則は何通り作れますか。

（２）
はじめの状態からスイッチを２回続けて押したとき、
ライトが左から順に赤、青、黄、緑に点灯するような規則は何通り作れますか。

（３）
はじめの状態からスイッチを３回続けて押したとき、
４つのライトは初めて赤一色になりました。このような規則は何通り作れますか。

（２）

２回押して元に戻る。

同色を維持。１通り

２色を交換して元に戻る。
Ａを赤とすると、赤とペアになるＢが決まれば全て決まる。
Ｂは赤以外の３通り。
（*４人を２チームに分ける考え方で、₄Ｃ₂÷２＝３でもＯＫ）

１ペアを交換にして、残りの２色を同色維持にする。
交換する２色を選ぶ。₄Ｃ₂＝６通り
計10通り。

（３）

３回押したら初めてすべて赤になった。
奇数回なので、先ほどのように２色の交換では戻れない。

先に赤から始まり赤で終わるパターンを考える。
わかりやすいのは、赤→赤の規則で同色を維持する【赤→赤→赤→赤】

異色を経由するのはどうか？
２色の交換は無理なので、赤→青→黄…の３色で試すと、
青と黄は１周して元の色に戻るので、赤にすることができない！
ということは、赤→赤が確定。

もう１つ配慮すべきは、３回押したあとに初めて赤一色になった点。
途中で赤赤赤赤にはならない。

一度、赤にすれば赤が継続する。
３色を３手目で全て赤にするには、１個ずつ順番に赤に変えていく他ない。
青黄緑のうち、１手目で赤にする色、２手目で赤にする色、３手目で赤にする色を選ぶ。
順列の考えで、₃Ｐ₃＝３×２×１＝６通り
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