問題ＰＤＦ
Ａ君とＢさん、Ｃ君とＤさんがそれぞれ２人１組のチームを作り、20ｋｍ先のゴールを目指して歩きます。Ａ君とＣ君が１人で歩くときの速さはそれぞれ時速６ｋｍ、ＢさんとＤさんが１人で歩くときの速さはそれぞれ時速３ｋｍです。また、Ａ君とＢさんが２人で一緒に歩くときの速さは時速５ｋｍです。
各チームは２人同時にスタートします。スタート後、２人で一緒に歩いても別々に歩いてもかませいませんが、立ち止まったり引き返したりはできません。スタートしてからゴールするまでにかかった２人の時間の合計（以下、チームの合計タイムとよびます）を考えます。
【例１】
Ａ君とＢさんのチームがスタートからゴールまで２人で一緒に歩いた場合、
20÷５＋20÷５＝８なので、チームの合計タイムは８時間０分です。
【例２】
Ａ君とＢさんのチームがはじめの15ｋｍは一緒に歩き、残りの５ｋｍは別々に歩いた場合、
（15÷５＋15÷５）＋（５÷６＋５÷３）＝8.5なので、チームの合計タイムは８時間30分です。
Ｃ君とＤさんのチームはスタートからゴールまで２人で一緒に歩いた場合でも、
スタートからゴールまで別々に歩いた場合でも、チームの合計タイムは変わりません。
このとき、次の問いに答えなさい。
（１）
Ａ君とＢさんのチームが、スタートからゴールまで２人で一緒に歩いた場合と、
スタートからゴールまで２人が別々に歩いた場合のチームの合計タイムの差は何時間何分ですか。
（２）
Ｃ君とＤさんのチームが２人で一緒に歩くときの速さは時速何ｋｍですか。
（３）
Ａ君とＢさんはスタートからある地点まで一緒に歩き、その後別々に歩いた場合、
チームの合計タイムは、Ｃ君とＤさんのチームの合計タイムより15分短くなりました。
Ａ君とＢさんが一緒に歩いたのはスタートから何ｋｍの地点までですか。
（４）
Ａ君とＢさんはスタートしてから別々に歩いていましたが、Ａ君はＢさんのことが心配になり、ルール違反ではあるがある地点で引き返し、Ｂさんと出会うと再びゴールを目指して２人で一緒に歩きました。すると、チームの合計タイムはＣ君とＤさんのチームの合計タイムと同じになりました。Ａ君が引き返した地点は、スタートしてから何ｋｍの地点ですか。
＠解説＠
（１）
ＡとＢが一緒に歩く→【例１】の通り、８時間０分。
ＡとＢが別々に歩く→20÷６＋20÷３＝10時間０分
差は２時間０分。
（２）
ＣとＤが別々に歩いたとする。
合計タイムは、20÷６＋20÷３＝10時間０分
ＣとＤがスタートからゴールまで一緒に歩いても合計タイムは10時間０分となる。
１人あたり５時間で20ｋｍを歩くので、20÷５＝時速４ｋｍ
（３）
ＣとＤのチームの合計タイムがどこにも書かれていない！
ＣとＤはスタートからゴールまで一緒に歩いても別々に歩いても合計タイムは10時間０分なので、
途中で別々に歩いた場合、どこで別れても10時間０分なのでは？と予想を立ててみる。
Ｃだけ：時速６ｋｍ Ｄだけ：時速３ｋｍ ＣＤ一緒：時速４ｋｍ
時間の比は速さの逆比。
時間の比→Ｃだけ：Ｄだけ：ＣＤ一緒＝１/６：１/３：１/４＝②：④：③
合計タイムの比は、ＣＤ別々：ＣＤ一緒＝（②＋④）：（③×２）＝１：１
一定の距離における合計タイムの比が等しいので、
合計タイムは20ｋｍに関係なく常に等しくなる。
すなわち、どこで別れても一緒に歩いた距離と別々に歩いた距離における、
それぞれの合計タイムの比が等しいので、ＣＤの合計タイムは10時間で一定となる。
ＡＢの合計タイムを10時間から15分（１/４時間）短くすればいい。
Ａだけ：時速６ｋｍ Ｂだけ：時速３ｋｍ ＡＢ一緒：時速５ｋｍ
時間の比→Ａだけ：Ｂだけ：ＡＢ一緒＝１/６：１/３：１/５＝⑤：⑩：⑥
ＡＢ別々：ＡＢ一緒＝（⑤＋⑩）：（⑥×２）＝⑮：⑫＝⑤：④
（１）より、ＡＢ別々の⑤は10時間、ＡＢ一緒の④は８時間で２時間の差がでる。
ＡとＢの合計タイムの最大値は10時間、最小値は８時間でこの範囲に収まる。
早々に別れると10時間に、ゴール付近で別れると８時間に近づく。
↑数直線は時間の長さ。
20ｋｍフルを別々で10時間。そこから15分（１/４時間）減らすには、
差の【２時間分】のうち、【１/４時間】に相当する距離を一緒に歩く距離に切り替えればいい。
20ｋｍ×1/4 / ２＝2.5ｋｍ
よって、ＡとＢが一緒に歩いたのはスタートから2.5ｋｍの地点まで。
*⑤と④の比は使わなかった(;`ω´)
できるだけ一緒に歩いた方が合計タイムは少なくなるとイメージしてください。
時間の比は次で使います。
（４）
歩いた様子を線分図で示すと、このような感じ。
Ａが引き返した○を求めたい。
ポイントは、スタートから一緒に歩いた場合との２時間差に注目。
Ａが引き返してＢと出会う地点までの歩き方が違ったことで合計タイムが２時間伸びた。
一定の距離における時間の比は、Ａだけ：Ｂだけ：ＡＢ一緒＝⑤：⑩：⑥
気をつけるべき点は、Ａの速さはＢの２倍で、Ａ一人は同じ時間に２倍の距離を歩いていること！
（⑩と⑥は同じ距離だが、⑤は２倍の距離）
⑩＋⑤×２＝⑥×２＋２時間
⑳＝⑫＋２時間
⑧＝２時間
ＡとＢが別々に歩いたところ（上の黒い枠線）が⑳なので、２時間×⑳/⑧＝５時間
つまり、Ａが引き返し、ＡとＢが出会うまでの合計タイムは５時間。
１人あたりの時間では５/２時間。
この間、２人は（時速３ｋｍ＋時速６ｋｍ）×５/２時間＝45/２ｋｍ歩き、
Ａがスタートしてから引き返すまでの距離（往路）は、その半分。
したがって、Ａが引き返した地点はスタートから45/４ｋｍの地点となる。
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