2019年度 滝中学入試問題【算数】大問6解説 

A君とBさん、C君とDさんがそれぞれ2人1組のチームを作り、20km先のゴールを目指して歩きます。A君とC君が1人で歩くときの速さはそれぞれ時速6km、BさんとDさんが1人で歩くときの速さはそれぞれ時速3kmです。また、A君とBさんが2人で一緒に歩くときの速さは時速5kmです。
各チームは2人同時にスタートします。スタート後、2人で一緒に歩いても別々に歩いてもかませいませんが、立ち止まったり引き返したりはできません。スタートしてからゴールするまでにかかった2人の時間の合計(以下、チームの合計タイムとよびます)を考えます。

【例1】
A君とBさんのチームがスタートからゴールまで2人で一緒に歩いた場合、
20÷5+20÷5=8なので、チームの合計タイムは8時間0分です。

【例2】
A君とBさんのチームがはじめの15kmは一緒に歩き、残りの5kmは別々に歩いた場合、
(15÷5+15÷5)+(5÷6+5÷3)=8.5なので、チームの合計タイムは8時間30分です。

C君とDさんのチームはスタートからゴールまで2人で一緒に歩いた場合でも、
スタートからゴールまで別々に歩いた場合でも、チームの合計タイムは変わりません。
このとき、次の問いに答えなさい。

(1)
A君とBさんのチームが、スタートからゴールまで2人で一緒に歩いた場合と、
スタートからゴールまで2人が別々に歩いた場合のチームの合計タイムの差は何時間何分ですか。

(2)
C君とDさんのチームが2人で一緒に歩くときの速さは時速何kmですか。

(3)
A君とBさんはスタートからある地点まで一緒に歩き、その後別々に歩いた場合、
チームの合計タイムは、C君とDさんのチームの合計タイムより15分短くなりました。
A君とBさんが一緒に歩いたのはスタートから何kmの地点までですか。

(4)
A君とBさんはスタートしてから別々に歩いていましたが、A君はBさんのことが心配になり、ルール違反ではあるがある地点で引き返し、Bさんと出会うと再びゴールを目指して2人で一緒に歩きました。すると、チームの合計タイムはC君とDさんのチームの合計タイムと同じになりました。A君が引き返した地点は、スタートしてから何kmの地点ですか。


@解説@
(1)
AとBが一緒に歩く→【例1】の通り、8時間0分。
AとBが別々に歩く→20÷6+20÷3=10時間0分
差は2時間0分。

(2)
CとDが別々に歩いたとする。
合計タイムは、20÷6+20÷3=10時間0分
CとDがスタートからゴールまで一緒に歩いても合計タイムは10時間0分となる。
1人あたり5時間で20kmを歩くので、20÷5=時速4km

(3)
CとDのチームの合計タイムがどこにも書かれていない!
CとDはスタートからゴールまで一緒に歩いても別々に歩いても合計タイムは10時間0分なので、
途中で別々に歩いた場合、どこで別れても10時間0分なのでは?と予想を立ててみる。

Cだけ:時速6km Dだけ:時速3km CD一緒:時速4km

時間の比は速さの逆比
時間の比→Cだけ:Dだけ:CD一緒=1/6:1/3:1/4=②:④:③
合計タイムの比は、CD別々:CD一緒=②+④:③×2=1:1
一定の距離における合計タイムの比が等しいので、
合計タイムは20kmに関係なく常に等しくなる。
すなわち、どこで別れても一緒に歩いた距離と別々に歩いた距離における、
それぞれの合計タイムの比が等しいので、CDの合計タイムは10時間で一定となる。

ABの合計タイムを10時間から15分(1/4時間)短くすればいい。

Aだけ:時速6km Bだけ:時速3km AB一緒:時速5km
時間の比→Aだけ:Bだけ:AB一緒=1/6:1/3:1/5=⑤:⑩:⑥
AB別々:AB一緒=⑤+⑩:⑥×2=⑮:⑫=⑤:④

(1)より、AB別々の⑤は10時間、AB一緒の④は8時間で2時間の差がでる。
AとBの合計タイムの最大値は10時間、最小値は8時間でこの範囲に収まる。
早々に別れると10時間に、ゴール付近で別れると8時間に近づく。

↑数直線は時間の長さ。
20kmフルを別々で10時間。そこから15分(1/4時間)減らすには、
差の【2時間分】のうち、【1/4時間】に相当する距離を一緒に歩く距離に切り替えればいい。
20km×1/4 / 2=2.5km
よって、AとBが一緒に歩いたのはスタートから2.5kmの地点まで。
*⑤と④の比は使わなかった(;`ω´)
できるだけ一緒に歩いた方が合計タイムは少なくなるとイメージしてください。
時間の比は次で使います。

(4)
難しいっすな(´~`)

歩いた様子を線分図で示すと、このような感じ。
Aが引き返した○を求めたい。

ポイントは、スタートから一緒に歩いた場合との2時間差に注目。
Aが引き返してBと出会う地点までの歩き方が違ったことで合計タイムが2時間伸びた

一定の距離における時間の比は、Aだけ:Bだけ:AB一緒=⑤:⑩:⑥
気をつけるべき点は、
Aの速さはBの2倍で、A一人は同じ時間に2倍の距離を歩いていること!
(⑩と⑥は同じ距離だが、⑤は2倍の距離)
⑩+⑤×2=⑥×2+2時間
⑳=⑫+2時間
⑧=2時間

AとBが別々に歩いたところ(上の黒い枠線)が⑳なので、
2時間×⑳/⑧=5時間
つまり、Aが引き返し、AとBが出会うまでの合計タイムは5時間
1人あたりの時間では5/2時間。
この間、2人は(時速3km+時速6km)×5/2時間=45/2km歩き、
Aがスタートしてから引き返すまでの距離(往路)は、その半分。
したがって、Aが引き返した地点はスタートから45/4kmの地点となる。

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