2023年度 栄東中学過去問・東大特待【算数】大問3解説

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ある数A以下でもっとも大きい整数を〔A〕と表すことにします。
たとえば、などのようになります。

(1)の値はいくつですか。

(2)の値はいくつですか。

(3) の値はいくつですか。


@解説@
(1)
はじめはとっかかりを見つけるためにやるしかない(;`ω´)

119までの7の倍数を並べ、あいだに17の倍数をはさむ。
0+0+1+1+2+2+2+3+3+4+4+4+5+5+6+6+7=55

@別解@

仮分数を帯分数に直したときの分子を調べる。
⑦、⑭、21-17=④、28-17=⑪、35-34=①…と書いていくと、
①~⑯が全部そろっているこれは偶然かしら?(;’∀’)

4と5で試しても同様である。
4と5は互いに素で、4の5番目(20)までを÷5した余りは0~4、
5の4番目(20)までを÷4した余りは0~3で数字がすべてそろっている。。
互いに素であると、最小公倍数(余り0になる数)に到達するまでに
(順番はきれいでなくても)すべての余りが循環小数のごとく周期的に登場する

7と17であれば、7の倍数の17番目、17の倍数の7番目に最小公倍数119が登場する。
それまでは必ず余りが発生して、うまい具合に重複を避けながら119で共に1周期を迎える。

そして、ガウス記号は帯分数の分数部分を排除する
〔21/17
〕=〔1+4/17〕=1➡ガウス記号を外すと、21/17-4/17=1で計算できる
ガウス記号を外した7/17~119/17までの和から、あとで排除される分数の和をひけばいい。
階差数列の和の公式を用いて、
(7+14+…+119)÷17-(1+2+…+16)÷17
=126×17÷2÷17-17×16÷2÷17
=63-8=55

(2)
分子が126から始まり、238で終わる。
119+7=126、119×2=238

(1)の17個の項を1グループ目とすると、(2)は2グループ目にあたる
排除される分数の分子は前問と同じ⑦、⑭、④、⑪…なので、分数の和は

(126+133+…238)÷17-8
=364×17÷2
÷17-8
=182-8=174

(3)
年度問題。【2023=7×17×17】
(1)1グループ目は分子7~119(7×17×)で項が17個。
(2)2グループ目は分子126~238(7×17×)で項が17個。
17個の項でまとめると、分子2023は2023÷7÷17=17グループ目のラストの項である。

1グループで排除される分数の和は8で固定。17グループ全体の和は17×8。
すべての項の数は、2023÷7=17×17=289個なので、
(7+14+21+…+2023
)÷17-17×8
=2030×289÷2÷17-17×8
=1007×17
=17119
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