2023年度　栄東中学過去問・東大特待【算数】大問３解説

問題ＰＤＦ
ある数Ａ以下でもっとも大きい整数を〔Ａ〕と表すことにします。
たとえば、などのようになります。

（１）の値はいくつですか。

（２）の値はいくつですか。

（３） の値はいくつですか。

＠解説＠
（１）
はじめはとっかかりを見つけるために調べる。

119までの７の倍数を並べ、あいだに17の倍数をはさむ。

＠別解＠

仮分数を帯分数に直したときの分子を調べる。
⑦、⑭、21－17＝④、28－17＝⑪、35－34＝①…と書いていくと、
①～⑯が全部そろっている。

４と５で試しても同様である。
４と５は互いに素で、４の５番目（20）までを÷５した余りは０～４、
５の４番目（20）までを÷４した余りは０～３で数字がすべてそろっている。。
互いに素であると、最小公倍数（余り０になる数）に到達するまでに、
（順番はきれいでなくても）すべての余りが循環小数のごとく周期的に登場する。

７と17であれば、７の倍数の17番目、17の倍数の７番目に最小公倍数119が登場する。
それまでは必ず余りが発生して、うまい具合に重複を避けながら119で共に１周期を迎える。

そして、ガウス記号は帯分数の分数部分を排除する。
〔21/17〕＝〔１＋４/17〕＝１➡ガウス記号を外すと、21/17－４/17＝１で計算できる。
ガウス記号を外した７/17～119/17までの和から、あとで排除される分数の和をひけばいい。
階差数列の和の公式を用いて、
（７＋14＋…＋119）÷17－（１＋２＋…＋16）÷17
＝126×17÷２÷17－17×16÷２÷17
＝63－８＝55

（２）
分子が126から始まり、238で終わる。
119＋７＝126、119×２＝238

（１）の17個の項を１グループ目とすると、（２）は２グループ目にあたる。
排除される分数の分子は前問と同じ⑦、⑭、④、⑪…なので、分数の和は８。
（126＋133＋…238）÷17－８
＝364×17÷２÷17－８
＝182－８＝174

（３）
年度問題。【2023＝７×17×17】
（１）１グループ目は分子７～119（７×17×１）で項が17個。
（２）２グループ目は分子126～238（７×17×２）で項が17個。
17個の項でまとめると、分子2023は2023÷７÷17＝17グループ目のラストの項である。

１グループで排除される分数の和は８で固定。17グループ全体の和は17×８。
すべての項の数は、2023÷７＝17×17＝289個なので、
（７＋14＋21＋…＋2023）÷17－17×８
＝2030×289÷２÷17－17×８
＝1007×17
＝17119
難関中（算数科）解説ページに戻る