2020年度　逗子開成中学過去問【算数】大問４解説

問題ＰＤＦ
１辺が４ｃｍの正方形ＡＢＣＤがあります。
辺ＡＢ上にある点Ｘから辺ＢＣ上にある点Ｙに向けて点Ｐが発射され、
次のルールに従って点Ｐはまっすぐ進むものとします。

＜ルール＞
１、点Ｐは各辺にあたると図１のようにはねかえる。
２、点Ｐは頂点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄのいずれかにあたると止まる。
３、点Ｐは発射されてから止まるまで一定の速さで進む。

（１）
ＡＸ＝３ｃｍ、ＢＹ＝１ｃｍとします。
点Ｐが発射されてから５回目に辺にあたるとき、どの辺にあたりますか。
また、５回目に辺にあたった点Ｐの位置から最も近い頂点および、
その頂点から点Ｐまでの距離を求めなさい。

ＡＸ＝１ｃｍ、ＢＹ＝1.6ｃｍとします。
点Ｐは点Ｘから点Ｙに到達するのに1.7秒かかりました。

（２）
点Ｐが発射されてから３回目にあたるとき、どの辺にあたりますか。
また、３回目に辺にあたった点Ｐの位置から最も近い頂点および、
その頂点から点Ｐまでの距離を求めなさい。

（３）
点Ｐが発射されてから点Ｐはどの頂点に何秒後に止まりますか。

＠解説＠
（１）

反射の問題は対称移動させて鏡の世界を作る。
辺に触れた場所が反射ポイントで、５回目は辺ＢＣ上となる。
長さは直角二等辺三角形をヒントに調べていく。
最も近い頂点はＢで、距離は１ｃｍ。
【解答】辺ＢＣ、頂点Ｂ、１ｃｍ

（２）

３回目は辺ＣＤ上。
２回目の反射がＤ寄りなので、３回目で最も近い頂点はＤ。
Ｐの反対側をＱとして、△ＸＢＹと△ＸＱＰで相似。
ＸＱ＝３×４/1.6＝7.5ｃｍ
Ａ’Ｑ＝Ｄ’Ｐ＝7.5－３－４＝0.5ｃｍ
【解答】辺ＣＤ、頂点Ｄ、0.5ｃｍ

（３）
先ほどの赤い線を延長してぶつかった頂点が答えとなる。
しかし、長さを計算して地道にだそうとすると数字がいやらしい(;´Д｀)
２回目にＰが反射する場所はＡから56/15ｃｍと半端な値になる…。

縦：横＝３：1.6＝⑮：⑧
横の長さ⑧が正方形の１辺である４の倍数になればいい。
次の８ｃｍで試しにやってみると、ちょうど縦が15ｃｍで合ってしまう。
答えはＡ。

ＸＹが17秒→17×15/３＝85秒
【解答】Ａ、85秒後
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