2023年度　豊島岡女子学園中学過去問【算数】大問５解説

問題ＰＤＦ
下の図のような階段があり、それぞれの位置に「右１段」～「右４段」、「５段」、
「左１段」～「左４段」と名前をつけます。

Ａさんは、「右１段」から出発し、１秒ごとに１段とばしで階段を昇り始め、
「右１段」→「右３段」→「５段」→「左３段」→「左１段」→「左３段」
→「５段」→「右３段」→「右１段」→　…
と階段を昇り降りすることを繰り返します。

Ｂ、Ｃ、Ｄの３人は、それぞれある段からＡさんと同時に出発し、
１秒ごとに１段ずつ階段を昇り降りします。

「右１段」～「右４段」、「左１段」～「左４段」から出発するときは、
まず階段を昇り始めます。「５段」まで昇ると昇ってきた階段とは反対側の階段を降り、
「右１段」か「左１段」まで降りると再び昇り始めます。

例えば、「左３段」から出発したときは、
「左３段」→「左４段」→「５段」→「右４段」→「右３段」→「右２段」
→「右１段」→「右２段」→「右３段」→…
と階段を昇り降りすることを繰り返します。

また、「５段」から出発するときは、「右４段」か「左４段」に降り、
「右１段」か「左１段」まで降りると再び昇り始め、「５段」まで昇ると昇ってきた階段とは
反対側の階段を降ります。

例えば、「５段」から出発して「右４段」に降りたときは、
「５段」→「右４段」→「右３段」→「右２段」→「右１段」→「右２段」
→「右３段」→「右４段」→「５段」→「左４段」→…
と階段を昇り降りすることを繰り返します。

このとき、次の各問いに答えなさい。

（１）
Ｂさんは「左１段」から出発し、ＡさんとＢさんは８秒後に初めて同じ高さの同じ位置に立ちました。２回目にＡさんとＢさんが同じ高さの同じ位置に立っていたのは、出発してから何秒後でしたか。

（２）
Ｃさんはある段から出発しました。ＡさんとＣさんは13秒後に同じ高さの異なる位置に立ちました。このとき、Ｃさんはどの位置から出発しましたか。

（３）
Ｄさんがどの位置から出発しても、〔　　〕秒後にＡさんとＤさんは同じ高さの同じ位置にも、同じ高さの異なる位置にも立っていませんでした。このとき、〔　　〕にあてはまる100に最も近い数を答えなさい。

（１）

Ａは右１、Ｂは左１から昇る。
『８秒後に初めて同じ高さの同じ位置に立った』
確認すると、８秒後にＡは折り返して右１、Ｂは片道で右１にいる。
⇒１～７

秒後において、ＡとＢは同じ位置で会わずにすれ違う。

Ａが再び左１に着くのは12秒後。
その後、ＡとＢはすれ違い、16秒後にＡは右１、Ｂは左１で最初の状態と同じになる。
ということは、そこから８秒後にＡとＢが左１で再び出会う。
24秒後

（２）

13秒後のＡは左３。
『ＣはＡと同じ高さの異なる位置に立っていた』→13秒後のＣは右３。
13段手前は左４か右２だが、５段以外は昇りから始めるので右２段となる。

（３）
ＡとＤが同じ高さの同じ位置、異なる位置にも立っていない時間を考える。
『Ｄがどの位置から出発しても』の条件が厄介…。
同じ高さにいない時間でもＡとＤは周期的に動くので、周期の始めがどこで始まるかを探る。
Ａは８秒後に右１に戻ってくる。
⇒１周目の１～７秒のあいだでＡとＤが同じ高さにこないのは何秒後か。

１秒後のＡは右３。Ｄが右２か左２から昇り始めると同じ３段目に立つので不適。
２秒後のＡは５段。Ｄが右３か左３から昇り始めると同じ５段目に立つから×。
このように調べていくと、６秒後のＤは５段目にこれない→必ずＡとＤは違う段になる。
６秒後から８秒ごとにＡとＤ必ず異なる段にいる。
すなわち、求める解は100に近い〔８の倍数＋６〕の値で102となる。
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