2021年度　ラ・サール中学過去問【算数】大問４解説

問題ＰＤＦ
図の五角形ＡＢＣＤＥにおいて、四角形ＡＢＣＤは長方形、三角形ＡＤＥは四角形ＡＢＣＤと面積が等しい正三角形です。次の問に答えなさい。

（１）
直線ＥＢでこの五角形はどのような面積比に分けられますか。

（２）
辺ＤＥのまん中の点をＭとすると、直線ＭＢでこの五角形はどのような面積比に分けられますか。

（３）
次のア、イ、ウを正しくうめなさい。
「（２）の点Ｍと五角形の辺（　ア　）を（イ）：（ウ）に分ける点を通る直線は、
この五角形の面積を二等分します。」

＠解説＠
（１）
△ＡＢＥを変形させる。

正三角形の頂点Ｅから垂線をおろし、ＢＣとの交点をＦとする。
→ＦはＢＣの中点にあたる。
また、∠ＡＢＦ＝∠ＥＦＣ＝90°で同位角が等しく、ＡＢとＥＦは平行。
等積変形で△ＡＢＥと△ＡＢＦの面積は等しい。

△ＡＢＦの面積を①とすると、長方形ＡＢＣＤの面積は④
五角形ＡＢＣＤＥ（全体）は④×２＝⑧
△ＡＢＥが①なので、面積比は１：７に分けられる。

（２）

ＭからＢＣに垂線、足をＧとする。
ＢＧ：ＧＣ＝３：１
△ＡＢＭを△ＡＢＧに等積変形。

△ＡＢＭ＝△ＡＢＧの面積を③とする。
上底＋下底の和から、四角形ＡＧＣＤは⑤
長方形ＡＢＣＤ＝正三角形ＡＤＥ＝⑧
ＭはＥＤの中点だから、△ＡＭＥは⑧÷２＝④
四角形ＡＢＭＥ＝④＋③＝⑦
全体が⑯なので、残りの四角形ＭＢＣＤは⑨
７：９

（３）

⑦：⑨から⑧：⑧にすれば二等分になる。
ということは、二等分する直線はＢＣを通過する。
面積比から底辺の長さの比を知りたいので、四角形ＭＢＣＤをＭＣで分割。

△ＭＣＤを△ＧＣＤに等積変形。
前問と同じ比を使っているので同様の考えで△ＧＣＤ＝△ＭＣＤ＝①

↑四角形ＭＢＣＤ（⑨）をこのように分ける。
面積比から底辺の比は１：７。
ア…ＢＣ、イ…１、ウ…７
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