2021年度 ラ・サール中学過去問【算数】大問4解説

図の五角形ABCDEにおいて、四角形ABCDは長方形、三角形ADEは四角形ABCDと面積が等しい正三角形です。次の問に答えなさい。

(1)
直線EBでこの五角形はどのような面積比に分けられますか。

(2)
辺DEのまん中の点をMとすると、直線MBでこの五角形はどのような面積比に分けられますか。

(3)
次のア、イ、ウを正しくうめなさい。
「(2)の点Mと五角形の辺( ア )を(イ):(ウ)に分ける点を通る直線は、
この五角形の面積を二等分します。」


@解説@
(1)
△ABEを変形させる。

正三角形の頂点Eから垂線をおろし、BCとの交点をFとする。
FはBCの中点にあたる
また、∠ABF=∠EFC=90°で同位角が等しく、ABとEFは平行。
等積変形で△ABEと△ABFの面積は等しい。

△ABFの面積を①とすると、長方形ABCDの面積は④。
五角形ABCDE(全体)は④×2=⑧
△ABEが①なので、面積比は1:7に分けられる。

(2)

MからBCに垂線、足をGとする。
BG:GC=3:1
△ABMを△ABGに等積変形。

△ABM=△ABGの面積を③とする。
上底+下底の和から、四角形AGCDは⑤
長方形ABCD=正三角形ADE=⑧
MはEDの中点だから、△AMEは⑧÷2=④
四角形ABME=④+③=⑦
全体が⑯なので、残りの四角形MBCDは⑨
7:9

(3)

前問の正答が前提条件。
⑦:⑨から⑧:⑧にすれば二等分になる。
ということは、二等分する直線はBCを通過する。
面積比から底辺の長さの比を知りたいので、四角形MBCDをMCで分割

△MCDを△GCDに等積変形。
前問と同じ比を使っているので同様の考えで△GCD=△MCD=①

↑四角形MBCD(⑨)をこのように分ける。
面積比から底辺の比は1:7。
ア…BC、イ…1、ウ…7
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