2019年度 江戸川学園取出中学入試問題【算数】大問7解説

次の会話文は、E中学校の2名の生徒会役員A、Bの会話の内容です。
この会話文を読み、次の問いに答えなさい。

A:これから1年生のクラスで文化祭で使う鉛筆の準備をしよう。
B:1箱に1ダース(12本)の鉛筆が入った箱をたくさん用意したよ。
A:1クラスに65本ずつ必要なので、分けられるように準備を始めよう。
B:では、1箱ずつ箱を開けていき、65本より少ないときはもう1箱開け、
  65本以上であるときは65本を必ず袋に入れるようにしよう。
A:あと、箱から鉛筆を出すときは、12本同時に出すようにしよう。

(2人は作業を行います)

A:これで17箱つかったね。いま鉛筆が入った袋はいくつあるかな?
B:【 ア 】袋あるよ。そして袋にも箱にも入っていない箱は【 イ 】本あるね。

(2人は作業を行います)

A:さあ、1年生の全クラス分の袋が準備できた!
B:いま袋にも箱にも入っていない鉛筆は1本だけになったよ。
A:ここまで作業してきて、袋にも箱にも入らない鉛筆が1本だけになることは初めてだね。
B:鉛筆の箱は何箱使ったかな?
A:【 ウ 】箱使ったよ。
B:袋の数は全部で【 エ 】袋できたので、
  これを1年生の各クラスに配って作業を終わりにしよう。

(1)
【 ア 】~【 エ 】にあてはまる整数を答えなさい。

(2)
もしこの作業を続けたとき、袋にも箱にも入っていない鉛筆が1本だけになることが何回もあります。このときにできる袋の数に注目すると、ある条件を満たす整数になります。
その条件の【 オ 】【 カ 】にあてはまる整数を答えなさい。
ただし、【 オ 】にはできるだけ大きい整数を答えなさい。
条件:袋の数は【 オ 】でわると【 カ 】あまる整数になります。
*実際の試験では、途中経過の記述も要求される。


@解答@
1だけでも正解したい。
(1)
12×17=204
204÷65=3・・9
ア…3 イ…9

ここから差がついてくる。
65×(袋の数)+1=12×(箱の数)
右辺より、左辺から検討する。
なぜなら、12の倍数より65の倍数の方が固まりが大きいので、
検討回数が少なくなるから。

右辺は偶数(12)をかけるので、必ず偶数になる。
左辺も偶数で、偶数-奇数(1)=奇数から、65×(袋の数)は奇数となる。
積が奇数だから、(袋の数)は奇数。

先ほど、袋の数が3で鉛筆が余ったので、
今度は袋の数を5にして計算する。
65×5+1=326
326÷12=27…2 ←12で割り切れない!

袋の数を7にする。
65×7+1=456
456÷12=38 ←割り切れた!

よって、袋の数は7、鉛筆の箱は38箱。
ウ…38 エ…7

(2)
65×(袋の数)+1=12×(箱の数)
上の式が成り立つ条件を答える。
どうやら、袋の数をある数で割ったとき、
余りの数が何かになったときに成立するらしい…。

ポイントは、65=60+5=12×5+5、と分解する。

5×12の長方形は12の倍数なので、12で割り切れる。
最後のの合計が12の倍数個になれば、全体で12で割り切れる

1本余る鉛筆を最初のとして、65の固まりには5つある。
言い換えれば、1+5×(袋の数)=12の倍数
になればいい。

前問より、袋が7つだと等式が成り立った。
1+5×7=36(=12×3)
次に等式が成り立つには、袋の数を12足せば、右辺が12の倍数となる。
1+5×(7+12)=1+5×19=96(=12×8)
袋の数に注目すると、【7、19、31、43、55・・】
7から始まり、12ずつ増える等差数列
したがって、袋の数を12で割ると7余る整数となる。
オ…12 カ…7

難関中(算数科)解説ページに戻る

◆menu◆ 公立高校入試…関東圏メイン。千葉だけ5教科あります。%は正答率。
難関中算数科…中学受験の要。数学とは異次元の恐ろしさ(;´Д`)
難関中社会科…年度別。暗記だけじゃ無理な問題がいっぱい!
難関中理科…物化生地の分野別。初見の問題を現場思考でこなせるか。
難問特色検査…英国数理社の教科横断型思考問題。
センター試験…今のところ公民科だけ(^-^;ニュース記事だけじゃ解けないよ!
勉強方法の紹介…いろいろ雑記φ(・・。)
QUIZ…☆4以上はムズいよ!
◆スポンサードリンク◆
株価が爆上げした『すららネット』様(*'ω'*)


noteも書いています(っ´ω`c)
入試問題を題材にした読み物や個人的なことを綴っていこうと思います。
気軽にお立ち寄り下さい(*^^*)→サボのnote
サボのツイッターはコチラ→

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。

CAPTCHA