2021年度 熊本県公立高校入試・選択問題B過去問【数学】解説

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出題範囲の削減は円周角と中心角の関係、三平方の定理、標本調査。

大問1(計算)

(1)
1/3+2/7
=13/21

(2)
8+7×(-4)
=8-28
=-20

(3)
3(x+y)-2(x-6y)
=3x+3y-2x+12y
=x+15y

(4)
(-6a)2×2ab2÷(-9a2b)
=36a2×2ab2÷(-9a2b)
=-8ab

(5)
(2x+1)2+(5x+1)(x-1)
=4x2+4x+1+5x2-4x-1
=9x2

(6)

2√2

大問2(小問集合)

(1)
2x+7=1-x
3x=-6
x=-2

(2)
(x+3)(x-3)=x
2-9=x
2-x-9=0
解の公式を適用して、
x=(1±√37)/2

(3)
x=1のとき、y=a
x=4のとき、y=16a
変化の割合=(yの増加量)÷(xの増加量)
=(16a-a)÷(4-1)=5a=4
a=4/5

@別解@
y=ax2において、xの値がp→qに増加するときの変化の割合はa(p+q)
a(1+4)=4
5a=4
a=4/5

(4)
5個から順番をつけて2個取り出す。52=5×4=20通り
3b/2aが整数となる組み合わせを地道に調べる。
a=1のとき、b=2、4
a=2のとき、b=4
a=3のとき、b=2、4
a=4、5のとき、bは無い。
以上、5通り。
確率は5/20=1/4

(5)

①∠BAP=∠CAPより、Pは∠BACの二等分線上にある。
②∠PBA=60°から、正三角形を想起
AとBからABの長さをとって交点をDとすると、△ABDは正三角形。
∠ABD=∠ABP=60°となる。
①と②の交点がP。

(6)①

魔方陣の考え。
正三角形の辺上に5個の場合、(5-1)×3=12個

正a角形の辺上にb個の場合、1辺にb個並ぶからb-1個がa個分できる。
a(b-1)
=ab-a個


考え方は前問と同様。
正n角形の辺上にn個並ぶ→n(n-1)=n2-n個
正n+2角形の辺上にn+1個並ぶ→n(n+2)=n2+2n個
2-n+24=n2+2n
3n=24
n=8

(7)①
式で求めるのが王道だが…算数でいきます。

グラフの交点が料金が等しくなるところ。
20m3以降に折れ線がなくなるので、このときの両者の料金を求める。
ヒバリ市…620+140×10=2020円
リンドウ市…900+110×20=3100円
差は3100-2020=1080円

ここから両者は1m3あたり170-110=60円ずつ差が縮まるから、
1080÷60=18m3
つまり、20+18=38m3のときの水道料金を求めればいい。
900+110×38=5080円



10m3のとき、リンドウ市の2000円より高くする。
30m3のとき、ヒバリ市の水道料金は620+140×10+170×10=3720円でこれより安くする。

下限から計算してみる。
『1m3につき80円』→傾き80
(10、2000)を通り、傾きが80の式を求める。
(10、2000)から左に10移動すると、下に10×8=800下がるから、
切片は2000-800=1200円
直線の式はy=80x+1200
切片が基本料金a
直線は(10、2000)より上を通過するので、基本料金aは1200円より高い。(1200は含まない

上限はどうか。
傾き80は変化しないので、y=80x+1200をどの程度上に平行移動できるか。

y=80x+1200にx=30を代入して、
y=80×30+1200=3600
3720-3600=120だから、y=80x+1200をy軸方向に+120すれば、
(30、3720)を通過する傾き80の式が求まる。
y=80x+1320
(30、3600)より下を通過するので、基本料金aは1320円より安い。
したがって、1200<a<1320

大問3(資料問題)

(1)
ア:範囲(レンジ)は[最大値-最小値]の値。
 度数分布表では最大値・最小値がわからないが、階級値で計算すると45-3=42分×
 階級の幅が6分。
イ:最頻値(モード)は最もあらわれている値。12~18分の階級値15分。〇
ウ:34人の中央値は17番目と18番目の平均で、いずれも18~24分の階級だから21分。×
エ:8÷34を計算。分母が分子の4倍を超えるから、値は1/4(0.25)より小さい。×
オ:30分以上は3+2+1=6人。6/34で分母は分子の5倍を超えるから1/5(20%)以下。〇
イ・オ

(2)
図1と比較して図2で増えた部分をみると、
0~6分が1人、6~12分が4人、12~18人が3人増えている。
おのおのの階級値で計算。
(3×1+9×4+15×3)÷8
=84÷8=10.5分=10分30秒

(3)イ、図2より通学時間が18分未満の生徒が22人いるから。
*平均値と中央値の違いは頻出である。
度数分布表が左に寄っているので、平均より通学時間が短くても順番は半分を超えた。

大問4(空間図形)

(1)

△ABP∽△CBAより、△ABPの辺の比も3:4:5。
BP=3×③/④=9/4cm

(2)
底面が△ABP、高さBEの三角錐だから、
9/4×3÷2×4÷3=9/2cm3

(3)

三角柱ABC-DEFの体積を1とする。これを削っていき、三角錘E-ABQにする。
三角柱ABC-DEF⇒三角錘E-ABC⇒三角錘E-ABP⇒三角錘E-ABQ
(1)よりBP=9/4cmだったので、PC=4-9/4=7/4cm
BP:PC=9/4:7/4=⑨:⑦

1×1/3×⑨/⑯×AQ/AP=1/20
3/16×AQ/AP=1/20
AQ/AP=1/20÷3/16=4/15
AQ=4とするとAP=15だから、QP=15-4=11
AQ:QP=4:11

大問5(関数)

1)
Aはy=-x+1上の点。
これにy=3を代入して、3=-x+1
x=-2
A(-2、3)
y=ax2に代入。
3=4a
a=3/4

(2)
y=3/4x2にx=4を代入して、C(4、12)
A(-2、3)⇒C(4、12)右に6、上に9移動するから、傾きは9/6=3/2
Aから右に2、上に3移動して、切片は3+3=6
y=3/2x+6

(3)①

P・Q・Rの位置に注意すること!
Pのx座標をtとする。
y座標はPが3/4t2、Qが3/2t+6、Rが-t+1。
PQ:PR
=(3/2t+6)-3/4t2:3/4t2-(-t+1)=③:①
内項と外項の積で整理すると、
-3/4t2+3/2t+6=9/4t2+3t-3 ←すべてを4倍
-3t2+6t+24=9t2+12t-12
12t2+6t-36=0 ←÷6
2t2+t-6=0
解の公式を適用。
t=(-1±7)/4=-2、3/2

Pはy=3/4x2においてBとCの間にある点。
Bのx座標は、-2+8/3=2/3
2/3≦t≦4より、t=3/2
Pのx座標は3/2。



面積比の算出に必要な長さの比をx座標の差から計算する。
AB:BR=2/3-(-2):3/2-2/3
=8/3:5/6=⑯:⑤
仮定からQP:PR=【3】:【1】
AQ:QC=3/2-(-2):4-3/2
=7/2:5/2=〔7〕:〔5〕

△ABPの面積比を16とする。
△ABP⇒△ARP⇒△ARQ⇒△ARC
△ARP…16×㉑/⑯=21
△ARQ…21×【4】/【1】=84
△ARC…84×〔12〕/〔7〕=144

△ARC:△ABP=144:16=9:1
△ARCは△ABPの9倍。

大問6(平面図形)

(1)
△BCF∽△CDHの証明。

直角二等辺三角形ABCより、∠FBC=45°
直角二等辺三角形ACDより、∠HCD=45°
∠FBC=∠HCD

同様に、∠ACB=∠ADC=90°
仮定から∠ACF=∠ADE()だから、
∠FCB=∠HDC=90-
2角が等しく∽。

(2)

DHとHGを1辺とする相似図形を探す。
△ADHと△GCHが2角相等で∽だが、対応する辺ではない…。
とりあえず、2つの三角形で長さがわかる辺を求めてみる。

直角二等辺三角形ACDより、1:1:√2でDC=6cm
(*除外された三平方を使いたくないのであれば、直角二等辺ABCをうえのように二等分し、
ABを底辺とすると高さADは6cmとなる)

前問の△BCF∽△CDHを活用する。
DH=3√5×6/6√2=3√10/2cm

△AHE∽△CDH(対頂角と45°)より、AH:HC=AE:CD=①:③
AC=6√2cmだから、これを①:③に分けて、
AH=3√2/2cm、HC=9√2/2cm

最後に△ADH∽△GCH
GH:HC=AH:HD=3√2/2:3√10/2=1:√5
HG=9√2/2×1/√5=9√10/10cm
したがって、DH:HG=3√10/2:9√10/10=5:3

@別解@

DH=3√10/2cm、DC=6cmまでは先ほどと同じ。
さらに角度を調べていく。
△AHE∽△CHDで∠HEA=×(もしくは、DC//ABの錯角でOK)
対頂角で∠GEF=×
△EFGと△CFBで、残りの内角から∠EGF=∠CBF=
2角が等しく、△BCF∽△GDC
DG=6√2×6/3√5=12√10/5cm

DH:DG=3√10/2:12√10/5=5:8
DH:HG=5:3


時間配分に注意。
大問1
(6)a√bの形で丁寧に整理する。
大問2
(4)地道に調べ上げるしかない。
(6)魔方陣は他県でも出てくる。
(7)①処理が面倒だが、ここで時間を費やすと後半が危ない。
②グラフの範囲は傾きを変える設問もあるが、本問は傾きが変わらない。
切片が基本料金なので、平行関係にある2直線の切片の範囲が答えとなる。
y=80x+1200→x=30のときのyの値の差。
大問3
(3)雄太の属する階級より下に22人いれば、雄太は中央値を超える。
大問4
(2)まではとりたい。
(3)柱から錘へ。錘を1つずつ削り取っていく。
上位校を狙うのであれば、AQ/APの分数計算をどこかで経験しておきたい。
大問5
(3)①求めたいx座標を文字に置き換える。
オーソドックスな解法だが、処理がやや面倒。最後は範囲判定。
②大問4(3)と似ている。辺の比を渡って△ABPから△ARCにつなげる。
大問6
(2)数値が汚く、処理能力も問われる。
時間もかかるので見直しに費やしても良い。
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