2019年度 東京都立高校入試問題【数学】解説

平均62.3点

問題はコチラ→PDFファイル

大問1(小問集合)-79.9%

(1)  95.4%
5+1/2×(-8)
=5-4=1

(2)  93.5%
4(a-b)-(a-9b)
=4a-4b-a+9b ←符号注意!
=3a+5b

(3)  85.7%
(√7-1)2
=7-2√8+1=8-2√8

(4)  88.3%
4x+6=5(x+3)
4x+6=5x+15
x=-9

(5)  92.1%
連立方程式。
うしろの式を2倍して加減してもよし、代入法でもよし。
x=4、y=6

(6)  69.0%
解の公式を適用。
x=[-1±√{12-4・1・(-9)}]/(2・1)
=(-1±√37)/2

(7)  39.2%
全体…53=10通り
積が3の倍数→3のカードは必ずとる
残り2枚は何でもいい。
4枚から2枚を選ぶ組合せ…42=6通り
したがって、6/10=3/5
逆に、取らない2枚の組合せで攻めても、
3を除いた4枚のカードから2枚を選ぶので同じ式ですね(*’ω’*)
3の倍数が3しかないのでやりやすい。
*誤答では、1/2が多かった。

(8)  74.1%

BCに補助線。円周角定理で25°を移動。
直径に対する円周角は90°。
∠ACD=90-25=65°

(9)  82.2%
作図の基本問題。
Aを通る垂線を描いて、ABの長さを垂線に持ってくる。
交点がC。
ここまでで46点!なんとか取りたい(ง `ω´)ง

大問2(式の証明)-29.0%

(1)  52.8%
正方形を並べ、周りの長さを式で求める。

定石としては、最初が2a、後ろが2a。
間のくの字は2つ合わせてaで、その数は間の数だからn-1個
これが左右に2つある。
L=2a+2a+a×(n-1)×2
=4a+2a(n-1)
=2a+2an=2a(n+1)→エ

代数的に考えて…
n=2のとき、6a=2a×3=2a×(2+1)
n=3のとき、8a=2a×4=2a×(3+1)
n=4のとき、10a=2a×5=2a×(4+1)…
L=2a×(n+1)=2a(n+1)

正方形全体の長さから点線を引いてもOK。

正方形がダブるところ(小さな正方形)の周囲は2aで、数はn-1個。
大きい正方形の周りは4aなので、
L=4a×n-2a×(n-1)=2an+2a=2a(n+1)
どれも値は同じですね(p_-)

(2)  5.2%!(部分正答を含む。無答が71.6%!)
円に代わる。解き方の要綱は前問と同じ。

円がきたら中心点から半径の作図
1個目と2個目の半径から正三角形が表れる。
はじめの角度は240°
最初と最後の円の太線は、2πr×240/360×2

間の弧の中心角は正三角形より60°
注意すべきは、弧の数はn-2個であること。
上の赤い弧に注目。
3個目の円までで弧は片側に1個しかないですよね。
先ほどのようにn-1個にしない
太線は、2πr×60/360×(n-2)×2
2つを合体。
M=2πr×240/360×2+2πr×60/360×(n-2)×2
=1/3×2πr×(n+2)
ℓ=2πrだから、該当箇所をℓに変換。
M=1/3ℓ(n+2)

@@@
ちなみに、青山学院でも同じ形が出てました。

(7)です。


大問3(関数)-55.2%

(1)  87.5%
y=-x+9の式にx=-4を代入。
y=-(-4)+9=4+9=13

(2)①  65.7%
Qを作図して直線mを作成。

直線mの傾きは、右に2、下に10→-10/2=-5
切片は-3だから、y=-5x-3 →ア

②  12.4%!(無答41.7%)
Pの座標を(s、-s+9)とおく。

Pの真下、BA
との交点をRとする。
BAは右に9、上に3で傾き1/3。
切片は-3なので、BA:y=1/3x-3
Rのx座標はsなので、y座標は1/3s-3。
PR間は-s+9-(1/3s-3)=-4/3s+12
ここさえ乗り越えれば、あとはいけるかと。
2s×(12-s)×1/2=(-4/3s+12)×9×1/2×2
-2s2+24s=-24s+216
2s2-48s+216
=s2-24s+108
=(s-6)(s-18)=0
s<9なので、s=6
Pのx座標は6。

大問4(平面図形)-42.6%

(1)  68.3%

平行四辺形の対角は等しい
あとは外角定理で、∠APC=a+50 →イ

(2)①  57.5%

平行線を活用して錯角。2角で∽。

② 1.9%!!!(無答41.3%)
問題集でよく見かける形であり、解法アプローチは複数ある(‘ω’)

1:2がいっぱいだね!
 
四角形QBPDが平行四辺形でBP=QD
QR:RD=□2:□1、BP=□3
 
RD=□1を△RCD∽△SCPで用いる。
SP=□1×2/3=□2/3
BS=□3-□2/3=□7/3

すべては整った…( ✧Д✧) キラーン
△AQRの面積比を2×2=④とおく。
四角形QBPR=△ABP-△AQR=③×③-④=➄
四角形QBPRは台形なので、面積➄を上底+下底の和(□5)から案分する。
四角形QBPR=➄×(□2+□7/3)/□5=➄×13/15=〇13/3
△AQR:四角形QBPR=4:13/3=12:13

@別解@
四角形QBSRが変な形をしているので、
これをスッキリさせるため、延長して外側に三角形を作っちゃうのも手。

BAとCRの延長線の交点をTとする。
△TQR∽△CDRから、TQ:CD=QR:DR=2:1
TQ=③×2=⑥
TA=⑥-②=④

△AQRは、△TQRの面積をTA:AQ=④:②で分ける。
(⑥×⑥)×②/⑥=⑫
四角形QBSR=△TBS-△TQR
=⑦×⑦-⑥×⑥=⑬
したがって、△AQR:四角形QBSR=12:13

@雑記@

QCに補助線を引いてネチネチやってたら全部でました(*’ω’*)w
真ん中が④(=10/3+2/3)の平行四辺形で、図形全体が点対称です。


大問5(空間図形)-35.3%

(1)  57.6%
ここも取りたいところ。


三平方でもいいが、よくみると△BCPと△PQBは合同(p_-)
BC=PQ=6cm

(2)  12.6%!(無答35.5%)
最後のわりには素直な設問…(‘Д’)
底面は△AQC

底面積は24cm2

正三角形DBCの高さ=3√3をもとに、
求める立体の高さは3√3/2cmとなる。
24×3√3/2×1/3=12√3cm3
発想はあまりいらんかった(*’ω’*)w

昨年より平均は下がったものの、全体的に得点率が高かった。
ラストの空間はそれほど難問ではなかったが、力尽きた生徒が多かったのだろうか?
底面積と高ささえわかれば体積を算出することができる。
複雑な立体は、全体から余分なところを引くか、内部を分割して足し合わせるか。

2019年度(都立)社会…平均52.7点 理科…平均67.1点 英語…平均54.4点
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