2017年度 東京都立高校入試【数学】解説

平均56.3点

わりと素直な問題が多かったです。
面積比と相似は使い慣れておきましょう。
問題はコチラから→PDFファイル

大問1(小問集合)

(1) 92.9%
6-9×(-1/3)
=6+3=9

(2) 95.0%
8a+b-(a-7b)
=8a+b-a+7b
=7a+8b

(3) 70.6%
(6+√2)(1-√2)
=6-6√2+√2-2
=4-5√2

(4) 91.2%
3(x+5)=4x+9
3x+15=4x+9
x=6

(5) 94.8%
x+y=7・・・①  4x-y=8・・・②
代入法でも加減法でも。以下、代入法。
①より、y=-x+7
②に代入、4x-(-x+7)=8
5x-7=8  5x+15  x=3
①に代入、y=4

(6) 83.9%
解の公式を用いる。
x=(-5̟̟̟±√17)/2

(7) 74.5%
実際にグラフを書いてみよう。
最大値はx=-5のとき、y=25
最小値はx=0のとき、y=0

(8) 49.3%
合計が10以下より11・12の方が少ないから、そちらを数えて全体から引く。
11・・・(5、6)(6、5)
12・・・(6、6)
全体は6×6=36だから、10以下は36-3=33
よって、33/36=11/12

(9) 67.3%
AP:PB=1:3にする→4等分
∠AOBの二等分→左側の角を二等分線

大問2(整数)

(1)ア  68.8%
*自力でもできなくないが、10段目まで調査するのは骨が折れる。
できれば規則を見つけてみよう。
求めたいところは-3の左隣。言い換えれば、手前の-3の下。
-3との和になる=3ずつ減っていく。
5、2、-1、-4、-7、-10・・・
この数列の10番目が答え。
5-3×(10-1)=-22

(2)公式解答参照  11.0%!
*aとb用いた文字式を実際にマス目に入れてみよう。
1段目はa+b、5段目は面倒くさいが地道に調べて解答のようになる。
すると、16(a+b)となり、16倍となる
最後は問題文に沿うように結論を書く。

大問3(グラフ)

(1)あ…1 い…2  81.5%
*y=-3x+9にx=-1を放り込む。
y=-3×(-1)+9=12

(2)①  20.8%!
y=1/3x+4
*△ACBを2等分→PがABの中点
P(3/2、9/2)
これとC(-12、0)を通る直線の式を求める。
9/2=3/2a+b
0=-12a+b
これを解いて、一般式にする。

②う…9 え…5  3.5%!!
*図をしっかり書く。
Dはy軸を対称の軸としたBを対称移動した点だから(-3、0)
△CDP=②、△ACP=⑤とおく。
CD:DB=9:6だから、
△DBP=2×6/9=〇4/3
AP:PB=△ACP:△PCB
=⑤:②+〇4/3
=5:10/3
=15:10
=3:2
Pのx座標は3×3/5=9/5



大問4(平面図形)

(1)エ  42.7%
*OPに補助線。
△OPBは二等辺三角形なので∠BPO=a°
外角定理から、∠POC=2a°
弧CQは扇形の弧だから、
6×2×π×2a/360=1/15πa

(2)①公式解答参照  53.7%
*相似の証明。
長方形の内角の1つと、直径に対する円周角から90°
AD//BCで錯角、2角が等しくなる。

②お…3 か…5 き…5  9.5%!
*PQが中途半端なところにあるから、
PB-QBと解法が明瞭。
あとは前問の相似を利用。
AP:PD=1:3から、AP=3cm
△ABP内で三平方
PB=3√5
△ABP:△QCB=PB:BC=3√5:12
QB=3×12/3√5=12/5・√5
PQ=3√5-12/5・√5=3/5・√5

大問5(立体図形)

(1)5  33.8%
*Mを通るBDに垂直な線分をひき、BDとの交点をNとする。
すると、嬉しいことがたくさん起こる。
△ABDでMがADの中点で、NもBDの中点となる。
MN=4cm
△BCDは正三角形。
△BCD内で中点連結定理。
NP=3cm
△MNP内で三平方→3:4:5→MP=5cm

(2)け…8 こ…3  2.6%!
*ラスボス
複数の解法があるが、切り口をどうもっていくかで処理の手数が変わる。
以下、全体から余分な個所を切り崩していく。
底面積は1辺6chの正三角形。
△BCD=6×3√3÷2=9√3
A-BCD(全体)=9√3×8÷3=24√3cm3
MがADの中点であることから、
M-ABC=24√3÷2=12√3cm3
△ABC内で面積比を考える。
AQ:QC=2:8=1:4だから
M-QBC=12√3×4/5=48/5・√3cm3
BP:PC=5:1より、
M-QBP=48/5・√3×5/6=8√3cm3
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