2019年度 富山県公立高校過去問【数学】解説

平均61.3点
問題はコチラ→PDFファイル

大問1(小問集合)

(1)
8+3×(-2)
=8-6=2

(2)
9a+1-2(3a-2)
=9a+1-6a+4
=3a+5

(3)
8x2y×(-6xy)÷12xy2
=-4x2

(4)
9/√3+√12
=3√3+2√3=5√3

(5)
3a+5b>500
〔より〕なのでイコールではない。

(6)
2+x-6
=(x+3)(x-2)=0
x=-3、2

(7)
ネジレの位置→延長しても交わらない、かつ平行でない。
辺CF、辺DF、辺EFの3本。

(8)
2点から等しい距離にある点⇒垂直二等分線上にある。
AB・BC・CAから2本の垂直二等分線を描き、その交点がPとなる。
(3点A・B・Cが円周上にくる円の中心点の作図と同じ)

(9)

正五角形の内角の1つは108°。
△ABCと△AEDはともに二等辺で、
その底角は、(180-108)÷2=32°
x=108-36×2=36°

@余談@

星型の先端の角の和は180°なので、
x=180÷5=32

(10)
4個から2個を取り出す→42=6通り
和が5となる組み合わせ→(1と4)(2と3)
2/6=1/3

大問2(小問集合2)

(1)①
連立方程式を作成する。
x+y=365
0.8x+0.6y=257


上の連立を解く。
x=190、y=175
男子は190人、女子は175人。

(2)①
ア:1組は35人。平均は112÷35=3.2冊○
イ:35人の中央値は18番目の値。少なくとも18~35番目の18人は3冊以上×
ウ:36人いて最頻値が2冊。最小値1、最大値5なので、1冊~5冊までいる。
仮に1冊~5冊まで35人が均等にバラけたとき、各々、35÷5=7人。
2冊の人数を最も多くするので、2冊の生徒は8人以上でなければならない○

大問3(関数)

(1)
x=-4のとき、y=4
x=-2のとき、y=1
(1-4)/{-2-(-4)}=-3/2

もしくは、y=ax2においてp→qの変化の割合はa(p+q)
1/4×(-4-2)=-3/2

(2)
C(2、1)D(4、4)
右に2、上に3なので、傾きは3/2。
Cから左に2、下に3→(0、-2)

(3)
回転させるとプリン型になる。

ABとDCを延長して円錐をつくる。
体積比は辺の比の3乗。
下の小さな円錐との体積比は、13:23-13=1:7
4×4×π×6×1/3×7/8=28π


大問4(規則)

(1)
7行目の一番左は、2×7=14
左から4番目なので、数字は3つ増える。(一番左の数もカウントするため)
14+3=17

(2)
n行目の一番左は2n。
n行目ではn個の数が横に並ぶ
一番右は一番左の数にn-1を足す。
2n+(n-1)=3n-1

(3)
視点を縦の列にみる。

偶数列と奇数列が繰り返される。
31は奇数なので、奇数列に表れるはず

問題は、列の出発点が31を超えるところはどこか。
列の出発点は行の一番右の数字。
仮に31が一番右の数字であった場合、前問の答えから、
3n-1=31
n=10.333…
整数にならないということは、31は一番右にこない。
31に近い数字が10~11行目に来る。
n=10で試すと、3×10-1=29
n=11では、一番右の数は3ずつ増えるため、29+3=32
11行目で31を超えるので、10行目までの奇数列の数が答えとなる。
10÷2=5個

大問5(空間図形)

(1)①
容器の2/3まで水を入れたので、図1の水の高さは6×2/3=4cm

水の体積は変わらない
正面からみたとき、奥行きはBCで同じだから、
高さ4cmの長方形と台形ABFEは面積が同じ
高さ4cmの長方形を作成する。
青い線より上の直角三角形と下の直角三角形は合同で、AEとBFの平均は4cmとなる
BF=5-1=
3cm



Eから垂線をおろし、交点をIとする。
△EFIで三平方。
EI=√(62+22)=2√10
長方形EFGH=2√10×6=12√10cm2

(2)
球を沈め、取り出したあとに残る水の体積が知りたい。

球を沈めた状態から球を取り除くので、球の周りの水が残る。
残る水=立方体-球
残る水の体積は、63-4/3π×33
=216-36πcm3
底面積は36cm2なので、水面の高さは、
(216-36π)÷36=6-πcm


大問6(数量変化)

(1)
QR=2cm
x=4のとき、PはBとCの中点にくる。
QRを底辺としたとき、高さは7cm
y=2×7÷2=7

(2)
Pは5秒後にCに着く。
CDは斜め線なので、△CDEから三平方。

3:4:5の直角三角形がみつかる。
Pは10秒後にDに着く。
5≦x≦10

(3)
QRを底辺としたとき、高さが変わると△PQRの面積も変わる。
高さが変わらなければ、等積変形で面積も変わらない。

PがB・C・
D・E・Fにきたときにグラフが折れる。
16秒後にAへ戻る。

(4)
先ほどのグラフで、y=6の横線を描く。

2つの交点が答え。
1つ目は2秒後と決まるが、2つ目が中途半端なところで交わる。
そこで相似を使う。
△ADE∽△ABC
BC:DE=AB:AD=4:1
DE=5×1/4=5/4
Eのx座標は、5+5/4=25/4
x=2、25/4

大問7(平面図形)

(1)
△ABE≡△ACDの証明。
難しくはないので正解したい。

仮定より、BE=CD
正三角形の一辺より、AB=AC
弧ADに対する円周角から、∠ABE=∠ACD
2辺とあいだの角が等しいので合同となる。

(2)①
△ADEが正三角形っぽい・・。
この直感が正しいか検証する。

前問の合同から、AE=2cm、BE=4cm
∠BAC(×+●)は、正三角形の内角の1つで60°。
合同より、∠BAE(×)=∠CAD(×)だから、
∠EAD=×+●=60°
AD=AEより、△ADEは二等辺。
頂角である∠EAD=60°から、残りの角度もすべて60°となり、
△ADEは正三角形となる。

△BFEも正三角形っぽい・・。
対頂角より、∠BEF=60°
弧ABに対する円周角から、∠ACB=∠EFB=60°
弧DFに対する円周角から、∠EAD=∠EBF=60°となり、△BFEも正三角形

つまり、求面すべきところは、1辺が4cmの正三角形となる。
底辺4cm、高さ2√3cm
4×2√3÷2=4√3cm2


BCは正三角形の一辺。
ポイントは外角60°を活用する。

AからBDに向けて垂線を描き、交点をHとする。
∠AEH=60°、∠EAH=30°
△AEHは30°-60°-90°の直角三角形であり、辺の比は1:2:√3。
EH=1、AH=√3
△ABHで三平方。
AB=√(52+√32)=2√7
BC=2√7cm
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