2019年度 富山県公立高校入試問題【数学】解説

平均61.3点
問題はコチラ→PDFファイル

大問1(小問集合)

(1)
8+3×(-2)
=8-6=2

(2)
9a+1-2(3a-2)
=9a+1-6a+4
=3a+5

(3)
8x2y×(-6xy)÷12xy2
=-4x2

(4)
9/√3+√12
=3√3+2√3=5√3

(5)
3a+5b>500
〔より〕なのでイコールではない。

(6)
2+x-6
=(x+3)(x-2)=0
x=-3、2

(7)
ネジレの位置→交わらない、かつ平行でない。
辺CF、辺DF、辺EFの3本。

(8)
2点から等しい距離にある点⇒垂直二等分線上にある。
AB・BC・CAから2本の垂直二等分線を描き、その交点がPとなる。
(3点A・B・Cが円周上にくる円の中心点の作図と同じ)

(9)

正五角形の内角の1つは108°。
△ABCと△AEDはともに二等辺で、
その底角は、(180-108)÷2=32°
x=108-36×2=36°

@余談@

星型の先端の角の和は180°なので、
x=180÷5=32

(10)
4個から2個を取り出す→42=6通り
和が5となる組み合わせ→(1と4)(2と3)
2/6=1/3

大問2(小問集合2)

(1)①
連立方程式を作成する。
x+y=365
0.8x+0.6y=257


上の連立を解く。
x=190、y=175
男子は190人、女子は175人。

(2)①
ア:1組は35人。平均は112÷35=3.2冊○
イ:35人の中央値は18番目の値。少なくとも18~35番目の18人は3冊以上×
ウ:36人いて最頻値が2冊。最小値1、最大値5なので、1冊~5冊までいる。
  仮に1冊~5冊まで35人が均等にバラけたとき、各々、35÷5=7人。
  2冊の人数を最も多くするので、2冊の生徒は8人以上でなければならない○

大問3(関数)

(1)
x=-4のとき、y=4
x=-2のとき、y=1
(1-4)/{-2-(-4)}=-3/2

もしくは、y=ax2においてp→qの変化の割合はa(p+q)
1/4×(-4-2)=-3/2

(2)
C(2、1)D(4、4)
右に2、上に3なので、傾きは3/2。
Cから左に2、下に3→(0、-2)

(3)
回転させるとプリン型になる。

ABとDCを延長して円錐をつくる。
体積比は辺の比の3乗。
下の小さな円錐との体積比は、13:23-13=1:7
4×4×π×6×1/3×7/8=28π


大問4(規則)

(1)
7行目の一番左は、2×7=14
左から4番目なので、数字は3つ増える。(一番左の数もカウントするため)
14+3=17

(2)
n行目の一番左は2n。
n行目ではn個の数が横に並ぶ
一番右は一番左の数にn-1を足す。
2n+(n-1)=3n-1

(3)
視点を縦の列にみる。

偶数列と奇数列が繰り返される。
31は奇数なので、奇数列に表れるはず

問題は、列の出発点が31を超えるところはどこか。
列の出発点は行の一番右の数字。
仮に31が一番右の数字であった場合、前問の答えから、
3n-1=31
n=10.333…
整数にならないということは、31は一番右にこない。
31に近い数字が10~11行目に来る。
n=10で試すと、3×10-1=29
n=11では、一番右の数は3ずつ増えるため、29+3=32
11行目で31を超えるので、10行目までの奇数列の数が答えとなる。
10÷2=5個

大問5(立体図形)

(1)①
容器の2/3まで水を入れたので、図1の水の高さは6×2/3=4cm

水の体積は変わらない
正面からみたとき、奥行きはBCで同じだから、
高さ4cmの長方形と台形ABFEは面積が同じ
高さ4cmの長方形を作成する。
青い線より上の直角三角形と下の直角三角形は合同で、AEとBFの平均は4cmとなる
BF=5-1=
3cm



Eから垂線をおろし、交点をIとする。
△EFIで三平方。
EI=√(62+22)=2√10
長方形EFGH=2√10×6=12√10cm2

(2)
球を沈め、取り出したあとに残る水の体積が知りたい。

球を沈めた状態から球を取り除くので、球の周りの水が残る。
【残る水=立方体-球】
残る水の体積は、63-4/3π×33
=216-36πcm3
底面積は36cm2なので、水面の高さは、
(216-36π)÷36=6-πcm

今年の千葉前期では、円錐型の容器に円柱のおもりを沈めたあと、
あふれた水の体積を求める問題が出ました。

一番最後の問題です(正解率6.9%)。


大問6(数量変化)

(1)
QR=2cm
x=4のとき、PはBとCの中点にくる。
QRを底辺としたとき、高さは7cm
y=2×7÷2=7

(2)
Pは5秒後にCに着く。
CDは斜め線なので、△CDEから三平方。

3:4:5の直角三角形がみつかる。
Pは10秒後にDに着く。
5≦x≦10

(3)
QRを底辺としたとき、高さが変わると△PQRの面積も変わる。
高さが変わらなければ、等積変形で面積も変わらない。

PがB・C・
D・E・Fにきたときにグラフが折れる。
16秒後にAへ戻る。

(4)
先ほどのグラフで、y=6の横線を描く。

2つの交点が答え。
1つ目は2秒後と決まるが、2つ目が中途半端なところで交わる。
そこで相似を使う。
△ADE∽△ABC
BC:DE=AB:AD=4:1
DE=5×1/4=5/4
Eのx座標は、5+5/4=25/4
x=2、25/4

大問7(平面図形)

(1)
△ABE≡△ACDの証明。
難しくはないので正解したい。

仮定より、BE=CD
正三角形の一辺より、AB=AC
弧ADに対する円周角から、∠ABE=∠ACD
2辺とあいだの角が等しいので合同となる。

(2)①
△ADEが正三角形っぽい・・。
この直感が正しいか検証する。

前問の合同から、AE=2cm、BE=4cm
∠BAC(×+●)は、正三角形の内角の1つで60°。
合同より、∠BAE(×)=∠CAD(×)だから、
∠EAD=×+●=60°
AD=AEより、△ADEは二等辺。
頂角である∠EAD=60°から、残りの角度もすべて60°となり、
△ADEは正三角形となる。

△BFEも正三角形っぽい・・。
対頂角より、∠BEF=60°
弧ABに対する円周角から、∠ACB=∠EFB=60°
弧DFに対する円周角から、∠EAD=∠EBF=60°となり、△BFEも正三角形

つまり、求面すべきところは、1辺が4cmの正三角形となる。
底辺4cm、高さ2√3cm
4×2√3÷2=4√3cm2


BCは正三角形の一辺。
ポイントは外角60°を活用する。

AからBDに向けて垂線を描き、交点をHとする。
∠AEH=60°、∠EAH=30°
△AEHは30°-60°-90°の直角三角形であり、辺の比は1:2:√3。
EH=1、AH=√3
△ABHで三平方。
AB=√(52+√32)=2√7
BC=2√7cm

全体的にバランスよさげな印象。
規則の最後は解けたらかっこいい◎
ラストの正三角形を真っ二つにして高さを求める手口は覚えておこう。
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