2021年度 千葉県公立高校入試過去問【数学】解説

平均59.3点(前年比;+7.9点)

問題はコチラ→PDFファイル
出題範囲の除外は標本調査。

大問1(計算)-91.1%

(1) 98.0%
-5×(-8)
=40

(2) 90.7%
-9+(-2)3×1/4
=-9-8×1/4
=-9-2
=-11

(3) 92.9%
(8a-5b)-1/3(6a-9b)
=8a-5b-2a+3b
6a-2b

(4) 87.7%
2x+3y=7 …①
3x-y=-17 …②
やり方はお好きなように。サボは①+②×3としました。
 2x+3y=7
+9x-3y=-51
 11x   =-44
x=-4
①に代入。2×(-4)+3y=7
y=5
x=-4、y=5

(5) 89.1%
12/√6+√42÷√7
=2√6+√6
=3√6

(6) 88.0%
2+9x+7=0
解の公式を適用。
x=(-9±√53)/2

大問2(小問集合)―55.7%

(1) 78.9%
ア:0×3+1×5+2×6+3×3+4×2+5×1=39冊×
イ:最頻値(モード)は最もあらわれている値で2冊×
ウ:20人の中央値(メジアン)は10番目と11番目の平均→2冊〇
エ:39÷20=2冊未満。平均値より大きい2冊以上は6+3+2+1=12人×

(2) 47.0%
切ったリボンは3bm。
残りはa-3bmで、これが5m以下。
a-3b≦5

(3) 52.7%
上と下は半径4cmの円。
側面積は縦8cm、横が底面の円周の長さ8πcmである長方形。
4×4×π×2+8×8π
=96πcm2

(4) 60.7%
bに4以上を入れると分子<分母になってしまい、整数にならない。
よって、bは3以下
◆b=3のとき
a+1=6
a=5
◆b=2のとき
a+1=4
a=3
◆b=1のとき
a+1=2、4、6(*約分した整数は1、2、3)
a=1、3、5
以上、5通り。
確率は5/36。

(5) 39.2%(無答18.4%)
作図、だいぶ易化です(; ̄Д ̄)

①円の中心OはADから等距離→ADの垂直二等分線上のどこか。
②円OはAC、BCに接する→ACとBCから等距離(半径と接線は垂直)
→∠ACBの二等分線上のどこか。
2本の線の交点がOとなる。


大問3(関数)―36.3%

(1) 78.9%
y=1/2x2に代入してAとBの座標を求める。
A(-2、2)⇒B(4、8)
右に6、上に6だから傾きは1。
Aから右に2、上に2移動して切片は4。
y=x+4

(2)① 29.5%!

B⇒Aは左に6、下に6移動するので、
Cから出発して同様に移動するとD(-6、-6)

しかし、面積を出すのにD座標は不要である(;^ω^)
対角線AOで切ると△AOBが平行四辺形の半分なのだから、これを2倍すればいい。
6×4÷2×2=24cm2

② 2.5%!!
シンプルながらもやりづらい:;(∩´_`∩);:

もし、AとD、BとCのx座標が同じであった場合、
上の図のように考えると、AD=15÷6=5/2cm
ABとDCは平行ゆえ傾きが等しい。
DCはABをy軸方向に-5/2平行移動した直線である。
DCの切片は、4-5/2=3/2
DC;y=x+3/2

DCをy=x+3/2上で平行移動させると、平行四辺形ABCDの等積は維持される。
あとはCをy=1/2x2に乗せればいい。
すなわち、Cはy=1/2x2とy=x+3/2の交点となる。
1/2x2=x+3/2
2-2x-3
=(x+1)(x-3)=0
問題文より-2<x<4、x=-1、3

◆Cのx座標が-1
y=x+3/2に代入して、C(-1、1/2)
AとBのy座標の差が6だから、CとDのy座標の差も6
Dのy座標は、1/2-6=-11/2

◆Cのx座標が3
同様に、C(3、9/2)
Dのy座標は、9/2-6=-3/2
答えは、-3/2、-11/2。

大問4(平面図形)―54.5%

(1)a;88.7%、b;88.6%、c;6点―37.2%、3点―3.9%、無答―30.3%
△ACD∽△DBOの証明。

弧ADの円周角で、∠ACD=∠DBO
CB//ODより、錯角で∠ABC=∠DOB
弧ACに対する円周角で、∠ABC=∠ADC
つなげると2角が等しく∽。
a…ウ、b…エ、c…上記参照

(2) 3.4%!!

直径に対する円周角より、∠ACB=90°
△ABCで三平方→AC=√7cm
角度の情報が乏しいので、前問の△ACD∽△DBOから、
△ACDと△DBOの面積比を求めてみる

OCに補助線。
OD//CBより、台形OCBDの上底と下底の比から、
△DBOの面積をとおくと、△CBOの面積は
半径でAO=OBなので、△CAO=△CBO=
△DAO=△DBO=

等積変形で△DCO=△DBO=
△ACD:△DBO=
辺の比は√7:√2でAC=√7cmだから、これに対応するBD=√2cm。


大問5(規則)―49.3%

(1)ア 88.5%
1段目の最大数…4
2段目の最大数…8
3段目の最大数…12
n段目の最大数…4n

イ 74.4%
同じ段の最大数から-3をすれば、その段の最小数になる。
(1段目であれば4-3=1、2段目であれば8-3=5)
n段目の最小数は4n-3。

(2)4点―20.0%、2点―15.3%、無答―40.0%!
説明問題。
m段目の最小数…4m-3
n段目の2番目の数…4n-1(最大数4nから1を引いた数)
(4m-3)+(4n-1

=4m+4n-4
=4(m+n-1)
m+n-1が整数なので、4(m+n-1)は4の倍数である。
したがって、m段目の最小の数と、n段目の2番目に大きい数の和は4の倍数である。

(3) 6.5%!!
難問です(´゚ω゚`;)
B列縛りがきたので、条件に合う数が何段目にくるのか調べる。

最小数がB列にくる、初めの段は4段目。
数字の順序は4の倍数ごとで同じだから、4、8、12…と続く。
すなわち、B列が最小の数となるのは4m段目
前問でm段目の最小の数が4m-3だったから、
4m段目の最小の数は、4×(4m)-3=16m-3

2番目に大きい数がB列にくる、初めの段は2段目。
2、6、10、14…と続く。すなわち、2+4(n-1)=4n-2段目
前問でn段目の2番目に大きい数が4n-1だったから、
4n-2段目の2番目に大きい数は、4(4n-2)-1=16n-9

(16m-3)+(16n-9)
=16m+16n-12
=12(m+n-1)+4m+4n

最後の4m+4nが12の倍数であれば
12(m+n-1)+4m+4nは全体で12の倍数となる。
【4m+4n=12の倍数】

条件に合うn段目は4n-2段目なので、4nを4n-2にチェンジすると…
4m+(4n-2)=12の倍数-2】 ←右辺&左辺を-2
0<4m,4n-2<20
0<4m+(4n-2)<40
40未満で〔12の倍数-2〕である整数は10、22、34しかない

◆4m+(4n-2)=10
4mは4の倍数、4n-2は4の倍数ではない2の倍数。
4の倍数で場合分けするのが良いと思います。
(4m、4n-2)=(4、6)(8、2)

◆4m+(4n-2)=22
(4m、4n-2)=(4、18)(8、14)(12、10)(16、6)

◆4m+(4n-2)=34
(4m、4n-2)=(16、18)
以上、7組。

@別解@
YAさん(@r21h238ya)から素晴らしい解法を頂きました(*´д`艸)
B列が最小となる数のm段目は4、8、12、16段目。
B列が2番目に大きい数となるn段目は2、6、10、14、18段目。
よく見ると、互い違いに偶数段しかあらわれません

(2)でm段目の最小の数4m-3とn段目の2番目に大きい数4n-1の和は
4(m+n-1)だったので、(m+n-1)が3の倍数になれば12の倍数となります。

mの最小が4、最大が16。nの最小が2、最大が18。
mとnはともに偶数なので、m+n-1の値は奇数。
つまり、6≦m+n≦34の範囲で、かつm+n-1が奇数である3の倍数を調べます。

◆m+n-1=9のとき
m+n=10
(m、n)=(4、6)(8、2)
◆m+n-1=15のとき
m+n=16
mが4の倍数で、nが4の倍数ではない2の倍数ですから、
m+nは4の倍数ではない2の倍数でなければおかしいです。×
◆m+n-1=21
m+n=22
(m、n)=(4、18)(8、14)(12、10)(16、6)
◆m+n-1=27
m+n=28
先ほどと同様で×。
◆m+n-1=33
m+n=34
(m、n)=(16、18)
したがって、7組となります。

*こちらの解法のほうが前問の解答を活かしていると思います。

大問1
各5点、合計30点。
どれも基本。ミスがこわい。
大問2
ここもミスがこわい。
(4)b=1のときは3通りある。
(5)作図もよくある形式。
大問3
(2)①平行四辺形の対角線は二等分する。
②平行四辺形を等積変形させるイメージ。
AB//DCかつAB=DC。DCはABと平行な直線上のどこかにある。
ABの真下にDCがある場合を想定して、DCを含む直線の切片を算出する。
大問4
(2)前問の相似を利用する。解説では中学受験の算数的手法で面積比を出した。
大問5
(2)文字式に変換すれば、あとはお馴染みのやり方。
(3)規則に整数が絡み、難関私立さながらの難問であった(;´・ω・)
前問の利用だがB列縛りがキツイ。
該当するmは4つ、nは5つしかないので、
下手に一般化せず、9つの数字を洗い出してしまうのも手。
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2021年度 千葉県公立高校入試過去問【数学】解説」への5件のフィードバック

  1. 大した問題ではないですが、大問3(2)①のDの座標が間違ってると思います。D(-6,-10)ではないでしょうか。

    返信
    1. 家庭教師サボ 投稿作成者

      コメントありがとうございます(*’ω’*)
      ああ~!!平行線で違うところを見ておりました。
      D(-6、-6)ですね。
      修正しておきました。お知らせ頂き、感謝でございますm(_ _)m

      返信
  2. 大問4の3ですが
    線分OEと線分EBの比が2:3
    OBが2㎝なので

    OEの長さは4/5
    EBの長さは6/5
    三角形ACEと三角形DBEは相似かつAC=√7
    三角形ACEと三角形DBEの比が7:3
    AC=√7なので
    3/7√7

    返信
    1. 家庭教師サボ 投稿作成者

      △ACE∽△DBEのところですが、
      AEに対応する辺はDEですね。
      弧BCに対する円周角より、∠CAE=∠BDEですので。

      返信
  3. 山形県在住

    大問4の3
    △EDO∽△ECBで、相似比は2:3なのでED:ECは2:3
    △EBDの面積を2Sとすると△EBCの面積は3S
    AO:OE:EBは5:2:3なので△ECAの面積は△EBCの7/3倍で7S
    したがって△ECAと△EBDの面積比は7:2
    △ECA∽△EBDでCA=√7、BD=xとすると、相似比と面積比の関係から
    7:x2=7:2
    x=√2

    私も問題の流れから△ACD∽△DBOに注目しましたが、
    上記の方法なら補助線もいらず計算も容易だと思います

    返信

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