2019年度　宮崎県公立高校過去問【数学】解説

平均50.5点

問題はコチラ→ＰＤＦファイル

大問１（小問集合）

（１）　98.3％
－７－（－５）
＝－７＋５＝－２

（２）　89.5％
－３/５＋５/６
＝７/30

（３）　95.7％
４²－（－７）×２
＝16＋14＝30

（４）　95.1％
－３（ａ－ｂ）＋（４ａ－５ｂ）
＝－３ａ＋３ｂ＋４ａ－５ｂ
＝ａ－２ｂ

（５）　84.0％
√18－√32＋３√８
＝３√２－４√２＋６√２
＝５√２

（６）　47.7％
ｘ²＝ｘ
ｘ²－ｘ＝ｘ（ｘ－１）＝０
ｘ＝０、１

（７）　87.9％
合計＝平均×個数＝3.6×10＝36
□＝36－（３＋４＋７＋２＋１＋６＋０＋５＋４）＝４

（８）　53.2％
平行四辺形に惑わされないように･･。
折れ線はＢとＤの垂直二等分線となる。ウ
折れ線を対称の軸とした場合、ＢとＤは対応する点となり、
軸からの距離が等しくなる。

大問２（方程式・確率）

（１）①　73.2％
製品①がｘ個、製品②がｙ個なので、それをかける。

②　25.0％！
部品Ａは330個…６ｘ＋３ｙ＝330
部品Ｂは200個…２ｘ＋４ｙ＝200
これを連立で解くと、ｘ＝40、ｙ＝30
利益の合計は、60ｘ＋40ｙ＝60×40＋40×30＝3600円

（２）①　76.3％
同じカードには番号を振る。
仁のグー⇒正のグー１、グー２
仁のチョキ１⇒正のチョキ
仁のチョキ２⇒正のチョキ
仁のパー⇒正のパー
以上、５通り。

②　15.1％！
説明問題。
仁の勝率が正を上回る⇒仁の勝つパターンが正よりも多くなる。
最初のカードでは、仁の勝つパターンは、
仁グー⇒正チョキ
仁チョキ１⇒正パー
仁チョキ２⇒正パー
仁パー⇒正グー１
仁パー⇒正グー２　計５通り。

カードの出し方は、４×４＝16通り
あいこが５通り、仁の勝利が５通りなので、
正の勝利は16－５－５＝６通り。
正のほうが勝ちパターンが１つ多いので、仁より勝率が高くなる。

仁に１枚パーを追加すると、
仁パー２⇒正グー１
仁パー２⇒正グー２で勝ち、
仁パー２⇒正チョキで負ける。
２勝１敗なので、勝ちパターンが仁と正でイーブンとなる。
よって、仁の勝率が正よりも初めて大きくなるのは、パーを２枚追加したとき。

以下、公式解答。

勝率の結果を並べて比較すればＯＫ。

大問３（総合問題）

（１）　67.1％

基本なので間違えないように( ˘ω˘ )
イ・エ

（２）　28.6％！
循環小数は、数字が規則正しく、無限に並ぶ小数。
ア…４/３＝１・１/３＝1.33333･･･〇
イ…３/５＝0.6×
ウ…√２が無理数なので、√２－１も無理数。×
エ…小数のうえに点がつくと、点～点までの数字が繰り返される。
本問では、0.121212121212…〇

オ…円周率πは3.14152965…と代表的な無理数。×
2019年度現在、日本人が円周率31兆4000億桁の計算に成功したらしい。。→ＢＢＣ
グーグルのエンジニアだそうです。ＮＡＳＡが公開している円周率の使用方法リストでは、

• 火星の表面に惑星探査機を着地させるのに必要なパラシュートのサイズを計算する
• 地球の表面のマッピングに長方形カメラがいくつ必要なのかを導き出す
• 惑星の周りの軌道に突入するために宇宙探査機にブレーキをかける適切なタイミングを計る

ほかにも数学者のマット・パーカー氏によると、円周率は外周の測定だけでなく、振り子の周期からはかりの在屈（物体に力を加えたときに生ずるたわみ）など、あらゆる計算に役立つんだとか。

（３）　30.1％！
√３の作図方法。空欄には△ＡＰＱ∽△ＱＰＢの証明を埋める。

垂線の作図からＡＢ⊥ＱＰ→直角
直径に対する円周角は90°なので、○＋×＝90°から等しい角を指摘。
２角が等しい→∽

*△ＡＰＱ∽△ＱＰＢより、
１（ＡＰ）：ＰＱ＝ＱＰ：３（ＰＢ）となり、
内項と外項の積から、ＰＱ＝√３となる。

（４）①　84.3％
ｎ多角形の内角の和→180（ｎ－２）
180×（５－２）＝540°
五角形はよくでてくるので、覚えてしまった方が早い。（六角形は720°）

②　64.1％
なんとなくでも解けてしまうが、論理的に説明できるようにしよう。
△ＡＢＣと△ＡＢＥに注目。

２辺とあいだの角が等しい、合同な二等辺三角形。
∠ＡＢＰ＝∠ＢＡＰ（●）＝（180－108）÷２＝36°
△ＡＢＰで外角定理→∠ＢＰＣ＝36＋36＝72°

③　1.3％!!
角度を調べていくと、△ＡＥＰは底角が等しくなり、二等辺三角形。
ＡＣ（正五角形の対角線）をｘとおく。

正五角形の１辺は２ｃｍ。ＡＥ＝ＰＥ＝２ｃｍ。
ＢＰ＝ｘ－２ｃｍ。

△ＡＢＥと△ＰＢＡはともに二等辺で２角が等しく∽。
ＡＢ：ＢＥ＝ＰＢ：ＢＡ
２：ｘ＝ｘ－２ｘ：２
ｘ（ｘ－２）＝４
ｘ²－２ｘ－４＝０
解の公式を適用。ｂ’＝2ｂバージョンが使える。
ｘ＞０より、ｘ＝１＋√５
ＡＣ＝１＋√５ｃｍ

＠黄金比＠
正五角形の一辺を１としたとき、対角線の長さは（１＋√５）/２となる。
１：（１＋√５）/２は、幾何的に美しい比率とされる黄金比。
今年の島根県でも出題されました。
難しいですが、ラストの問題にでてくる図形を利用すると、
コンパスと定規で正五角形が作れます。

大問４（関数）

（１）　82.4％
Ａ（－２、２）をｙ＝ａｘ²に放り込む。
２＝（－２）²ａ
ａ＝１/２

（２）　46.9％
Ｂ座標を求める。
ｙ＝１/２×１²＝１/２
Ｂ（１、１/２）

Ａ（－２、２）⇒Ｂ（１、１/２）
右に３、下に－３/２なので、傾きは－３/２÷３＝－１/２
Ａから右に２移動すると、下に１下がるので、切片は１となる。
ｙ＝－１/２ｘ＋１

（３）①　26.3％！
線分ＡＣ上の点でｘ座標が整数となる点は７個
⇒Ａのｘ座標が－２なので－２＋７＝５としたいところだが、０を含むことに注意！
〔－２・－１・０・１・２・３・４〕
Ｃのｘ座標は４。

ｙ＝１/２ｘ²に代入。
Ｃ（４、８）

②　1.3％!!
Ｃの座標から、ＯＣ：ｙ＝２ｘ
ＰはＯＣと、ℓ：ｙ＝－１/２ｘ＋１の交点座標。

２ｘ＝－１/２ｘ＋１
ｘ＝２/５、ｙ＝４/５
Ｐ（２/５、４/５）

△ＡＯＰ：△ＰＢＣの面積比は、ＡＰ×ＯＰ：ＣＰ×ＢＰをすればいい。
各々の点座標から距離の比を算出。
ＡＰ：ＰＢ＝12/５：３/５＝４：１
ＯＰ：ＰＢ＝４/５：36/５＝１：９
よって、△ＡＯＰ：△ＰＢＣ＝４×１：１×９＝４：９

大問５（空間図形）

（１）　76.3％
△ＯＰＱで三平方。
ＯＰ＝√（９²－３²）＝６√２ｃｍ

（２）　30.6％！
アイス型の表面積を求める。
円錐の側面積となる扇形の中心角は、〔×半径/母線〕で処理をする。
球の表面積は、Ｓ＝４πｒ²。半球は半分にすればいい。
９×９×π×３/９＋４π×３²×１/２
＝45πｃｍ²

（３）　17.5％！
ＯＰ＝６√２。体積比は辺の比の３乗なので、
円錐の体積：水の体積＝６√２³：６³＝６³×√２³：６³
＝√２³：１＝２√２：１

円柱の体積から水の体積を求める。
３×３×π×６√２×１/３×１/２√２＝９πｃｍ³

球の体積は４/３πｒ³。
半球の体積は、４/３π×３³×１/２＝18πｃｍ³

９π/18π＝１/２＝50％

（４）　0.2％!!!
円錐の先を円柱の隅っこに差し込む。

求める長さは円柱の底面積である円の円周にあたる。
円周を計算するには、円の直径がわかればいい。
そこで、立体を横からみる。

ＭＡが円の直径にあたる。
相似を使うと予想して、角度を調べる。
○＋×＝90°を利用すると２角が等しく、△ＯＰＱ∽△ＡＰＳ
△ＯＰＱの辺の比は、３：９：６√２＝１：３：２√２
本問で、角度が○－×－90°の直角三角形は辺の比が１：３：２√２になる。
ＳＡ＝４×１/２√２＝√２

Ｍを通る円錐の底面に平行な線をひき、交点をＲ、Ｎとする。
平行より同位角から∠ＭＮＡ＝∠ＯＰＮ＝○
長方形の外角から∠ＮＡＭ＝90°なので、残りの∠ＮＭＡ＝×
ＭＮ⊥ＯＰより、∠ＭＲＳ＝90°
２角が等しいので、△ＳＲＭ∽△ＮＡＭ

↑拡大。ＳＭ＝ｘとおく。
角度が○－×－90°なので、辺の比が１：３：２√２。
ＲＭ＝２√２/３ｘ
ＮＭ＝ＲＭ×２＝４√２/３ｘ
△ＮＡＭより、ＭＡ＝４√２/３ｘ×２√２/３＝16/９ｘ

ということは、16/９ｘ－ｘ＝７/９ｘ＝√２
ｘ＝９√２/７

ＭＡ＝９√２/７＋√２＝16/７√２
ＡＤは、これを直径とする円周なので16√２/７πｃｍ
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