2020年度 香川県公立高校入試過去問【数学】解説

平均28.4点(50点満点;+1.2点)
問題はコチラ→PDFファイル

大問1(計算)

(1)
10÷(-2)+4
=-5+4=-1

(2)
2-4
=(-3)2-4
=9-4=5

(3)
9×(2x-1)/3 ←9と3で約分
=3×(2x-1)
=6x-3

(4)
(x-1):x=3:5
内項と外項の積で、
3x=5(x-1)
x=5/2

(5)
(3√2+1)(3√2-1)
=(3√2)2-12
=18-1=17

(6)
x(x+1)-3(x+5)
=x2+x-3x-15
=x2-2x-15
=(x-5)(x+3)

(7)
√180=6√5
a=5を代入すれば、6×√5×√5=30でルートを外せる。
a=5

大問2(小問集合)

(1)

∠BAF=90-40=50°
△ABFは二等辺ゆえ、∠ABF=(180-50)÷2=65°
∠EBC=90-65=
25°

(2)ア
ネジレ→平行ではない、かつ交わらない。
辺DF(イ)

イ:
△ABCの面積は、6×3÷2=9cm2
PAは三角錐P-ABCの高さにあたるので、
PA=15×3÷9=5cm
△PABで三平方→PB=
√61cm

(3)
難しい(;∀;)

△ABCで三平方→AC=2√5cm
△ABCは直角二等辺にみえるけど違うので注意!
ここからどしよ⊂(^ω^)⊃

幾何の鉄則、困ったら角度の調査。
Bに目をやると、正方形の内角が2つ集合しているので、×=180°
DB=BA…

Bを中心に△BDGを時計回りに回転させる。
すると、DがAに接し、×=180°からG’―B―Cが一直線になる!!
△ABG’と△ABCは底辺が6cmで高さが共通だから面積が一緒。
つまり、△ABCの面積が答えになる。
2√5×4÷2=
4√5cm2
*難しいけど、難関中の算数にでてくる手口です。


大問3(小問集合2)

(1)
積が9以下を調べる。
◆Aが1
Bは1~6の6通り。
A・Bの逆を含めると、6×2-1=11通り。
*(1、1)は含まないので-1をしている。

◆Aが2
1は検討済みだから、Bは2~4の3通り。
逆を含めて、3×2-1=5通り
*(2、2)を除外して-1。

◆Aが3
(3、3)のみ。
計17通り。
確率は、17/36。

(2)
最頻値(モード)は最もあらわれている値。
10~20分の階級の階級値で答える。
2つの平均で15分。

(3)ア
x=1のとき、y=1
x=4のとき、y=16
変化の割合=(yの増加量)/(xの増加量)
=(16-1)/(4-1)=5

@別解@
y=ax2において、xの値がp→qに増加するときの変化の割合はa(p+q)
1×(1+4)=5



y=1/2x2にx=-4を代入。A(-4、8)
AB:BC=2:1より、Cのx座標は2。
y=x2に代入して、C(2、4)
A(-4、8)→C(2、4)
右に6、下に4だから、傾きは-4/6=-2/3

y=-2/3x+bに、C(2、4)を放り込む。
4=-2/3×2+b
b=16/3
y=-2/3x+16/3

(4)
答案では求める過程も記述する。
バレー部の部員全員をx人し、利用料金で等式を立てる。
当初の予定では、250x円。
しかし、3人欠席してx-3人となり、1人あたり280円集めて120円余った。
⇒280(x-3)-120円。
*余ったから、集金した金額から120円引かないと利用料金にならない。
250x=280(x-3)-120

x=32

大問4(規則&数量変化)

(1)ア

上と下を見ると規則が見つかる。
ようは、16番目の奇数は何かということ。
a=16×2-1=31


2n-1=49
n=25
n-1=24
2-(n-1)2=2n-1が49のときを考えているので、
252-242の値は49の正の平方根である7。
7、24、25

@余談@

なんで連続する数の平方数の差が奇数になるのか。
正方形を並べて重ならない部分をみるとわかりやすい

(2)ア
Pは使わない。
 
3秒後、QはBから6cm移動している。
BQ:QC=6:14=3:7
△ABQの面積は、90×3/10=27cm2



【方針;△ABC⇒△ABQ⇒△APQ】
90×2x/20×x/10=9/10x2cm2


答案では求める過程も記述する。
前問より、x秒後の△APQの面積は9/10x2
この3倍が、x+1秒後の△APQの面積である9/10(x+1)2に等しい。
9/10x2×3=9/10(x+1)2 ←両辺から9/10を除外
3x2=x2+2x+1
2x2-2x-1=0
因数分解ができないので解の公式を適用。
bの係数が偶数なのでb=2b’が使える。
0<x≦9より、
x=(1+√3)/2


大問5(図形の証明)

(1)
△AGO∽△AFBの証明。

共通角
仮定より、∠AGO=90°
直径ABに対する円周角で、∠AFB=90°
以上、2角が等しく∽。

(2)
△ABC≡△AHDの証明。

△ABCと△AHDが離れている(´゚ω゚`;)
BC=BDをまだ使ってない。。
直径ABに対する円周角で、∠ACB=∠ADB=90°
共通辺ABと組み合わせ、斜辺と他の1辺が等しい直角三角形で△ABC≡△ABD
AC=AD

∠ADH=180-90=90°
もう1つの等角が欲しい。ここからどうするか・・。
ごちゃごちゃした図形なので迷子になりやすい(´・ω・`)
円外の情報は不足しているので、∠AHDより∠HADをなんとか求めたい

∠CAB=、∠CBA=×とおく。
×=90°
弧ACに対する円周角で、∠AFE=×
対頂角で∠AEF=90°だから、△AEFの残りの内角である∠EAF=180-90-×=
一辺両端角が等しく、合同となる。

平均が6割に近く、基本問題は落としたくない!
大問2
(3)中学入試っぽい問題は正答率がガクッと下がる傾向にある。
図形の回転移動は初見ではかなり厳しい。
大問3
(1)表を書いて調べてもいい。
大問4
ここから差がつきやすい。
(1)252-242は計算しない。
(2)図を描くこと。xの1秒後はx+1。
大問5
(2)ADとCFが直交するEがポイントではないかと思われる。
完全解答はできなくても部分点をとれれば及第点〇。
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