2021年度 福岡県公立高校入試過去問【数学】解説

平均;47.6%(-8.1%)
問題はコチラ→PDFファイル
出題範囲の除外は三平方の定理の活用と標本調査。
*三平方の定理の意味を理解し、それが証明できることを知ることは出題に含まれる。

大問1(小問集合)―75.4%

(1) 97.1%
7+2×(-6)
=7-12=-5

(2) 93.2%
3(2a+b)-2(4a-5b)
=6a+3b-8a+10b
=-2a+13b

(3) 91.5%
14/√2-√32
=7√2-4√2
=3√2

(4) 85.1%
(x+6)(x-5)=9x-10
2+x-30=9x-10
2-8x-20
=(x+2)(x-10)=0
x=-2、10

(5) 66.7%
4枚の硬貨を投げて表裏が出る結果→24=16通り
『少なくとも1枚は表』→全体からすべて裏の場合を引く。
すべて裏は1通りしかないから、『少なくとも1枚』は15通り。
確率は15/16。

(6) 65.2%
y=1/2x2はa>0で下に凸のグラフ。
x=0のとき、最小値y=0
x=-4のとき、最大値y=8
0≦y≦8

(7) 70.9%
y=-6/xのグラフを描く。

反比例なので双曲線となる。
xとyの積は比例定数-6で一定。
a>0だから、グラフは左上(第2象限)と右下(第4象限)にあり、
格子点を結んで描く。

(8) 72.5%
∠Aが90°である直角三角形ABC。
三平方の定理(辺の比が3:4:5)から、AC=8cm

(9) 36.4%

BOを延長して円との交点をEとする。
直径BEに対する円周角∠BCE=90°
∠EBC=180-90-48=42°
二等辺ABCの底角である∠ACB=(180-48)÷2=66°
△BCDで外角定理→∠ADB=42+66=108°

大問2(資料問題)―71.2%

(1) 83.0%
図1の13m以上14m未満の度数は4回。
4÷30=0..133…≒0.13

(2) 63.4%
説明問題。
中央値の場合は『中央値がふくまれる階級』、最頻値の場合は『その数値』と
書くべき要素が微妙にズレている(´・_・`)

30回の中央値(メジアン)は15番目と16番目の平均。
Aは11m以上12m未満の階級、Bは10m以上11m未満の階級でAの方が遠くまで飛んでいる。

最頻値(モード)は最もあらわれている値。
Aは9.5m、Bは11.5mでBの方が遠くまで飛んでいる。
モードが手っ取り早く書ける。


大問3(整数)―42.6%

(1) 48.9%
偶数は2m。
連続する2つの偶数は2mと2m+2
2m(2m+2)+1
=4m2+4m+1
=(2m+1)2
mは整数だから、2m+1は奇数である。
したがって、連続する2つの偶数の積に1を加えた数は、奇数の2乗になる。

@余談@

↑幾何で捉えるとこうなる。
4×6の青い長方形において、
右のを上のに移動して+1すると5×5の正方形になる。

(2)A50.3%、B45.4%
1と3は連続する奇数だが、下線部①では『n、n+2』となっている。
連続する2つの奇数は『2n+1、2n+3』や『2n-1、2n+1』など。
nに係数のない『n、n+2』は、差が2である2つの整数。

n(n+2)+1
=n2+2n+1=(n+1)2
n+1はnとn+2の間の数。
”もとの2つの数の間の整数”が答えになる。
A…エ B…オ

(3) 30.6%!

先ほどは『差が2である2つの整数』をいじくると『あいだの数』になったが、
これら3つの整数は連続する3つの整数である。
連続する3つの整数をA、B、Cとすると、A×C+1=B×B

最終的に真ん中の数の2乗になるので、連続する5つの整数A、B、C、D、Eでは、
計算結果がC×Cとなりそうな組み合わせを探す。
中央のCから等しい距離で離れ、かつ+1ではないとするとAとEが怪しい('ェ')ジィー

Cをnとおいてみよう
A…n-2、E…n+2
A×E+P=C2
(n-2)(n+2)+P=n2
2-4+P=n2
P=4
X…ア、Y…オ、Z…ウ、P…4(X・Yは順不同)

@余談@

8×12=96の長方形を10×10=100にするには+4する。
具体的な数値を適当にあてはめて検証してもいい。
ちなみに、連続する7つの整数では、最小値×最大値+9=中央値2となる。
平方数を足していくことになる。

大問4(数量変化)―30.9%

(1) 65.3%
説明問題。いちいち方程式を記述しなくてはならない(;`ω´)

0≦x≦30のグラフは原点(0、0)から(30、2400)を通過する。
傾きは2400÷30=80
y=80x
これにx=11を代入して、y=80×11=880m
図より家から駅までの距離は900mで、880<900だから家から駅までの間にいる。

@余談@
30分後に2400m歩くから、11分後は2400×11/30=880mで良いと思うのだが、
直線の式を忠実に書けるようにしてねという県教委会からのメッセージか。

(2) 34.7%
希が図書館を出発した時刻がわからないのでBから決める。

60分後の駅からさかのぼる。
図書館~駅間は2400-900=1500m
これを分速75mで歩くから、1500÷75=20分
希が図書館を出発したのは20分前の9時40分。
B(40、2400)

姉は2400mを分速200mで移動するので、2400÷200=12分
家を出発した時刻は12分前の9時28分。
A(28、0)

A…(28、0)、B…(40、2400)

(3) 10.8%!!

グラフの最後のほうに追記。
兄は65分後の10時5分に家を出発。
駅で15分間おしゃべりしてから、行きと同じ速さで帰る。
行きと帰りの時間は同じ(図形は等脚台形)。
兄が駅までかかる時間は、(10:38-10:05-15)÷2=9分

家-駅間を希は15分、兄は9分。
時間の比は希:兄=15:9=

中学受験の戦法を使わせていただきます(´д`)
希と兄がすれ違う交点から垂線を下ろす。
この垂線の距離を移動する時間の比が希:兄=
=10分×/=3・3/4分=3分45秒
したがって、希と兄がすれちがったのは、10時5分から3分45秒後。
10時8分45秒


大問5(平面図形)―29.4%

(1) 42.4%

1つしか変更できないので、『1組の対辺が平行でかつ長さが等しい』を使う。
平行は変わらない。変わったのは上と下の長さ。
符号を入れ替えればいい。
エ;AD+DE=CB+BF

@余談@
私どこかでコレ見かけたことあるな(´ω`).。0
とデジャブにかられて記憶をたどると、3年前の全国学力テスト数学Bに酷似してました。

良い問題は記憶に残ります。

(2) 44.9%
△DGE≡△BHFの証明。

仮定より、DE=BF
AE//CFの錯角より、∠GED=∠HFB(
同じ錯角とAB//DCの同位角で、∠EDG=∠FBH(×
1辺と両端角が等しく合同。

(3) 3.6%!!

面積の小さい△HBFに狙いを定める
△HBF∽△HAEにおいて、辺の比は1:4。
△HBFの面積を【1】とおくと、△AHFは【4】。

△AFBは【5】。
△AFB:△AFC=FB:FC=1:4ゆえ、
△AFC=【5】×4=【20】
平行四辺形AFCE=△AFC×2=【40】

対角線ACとEFで分けると、平行四辺形の面積は4等分される
△OFC=【40】÷4=【10】
四角形OHBC=【10】-【1】=【9】
したがって、12×【9】/【40】=27/10cm2

大問6(空間図形)―19.5%

(1) 65.3%

サボは③から考えました。
③底面の面FGHIと平行なのは青線の4辺。
②面BFIEと垂直なのは辺BCと辺DE。
①辺BCは辺ABと交わるので辺DEが答え。

@余談@

昨年の埼玉でも同じ図形が出ています。
そこで出題されたのが『辺BFとネジレにある辺は何本か』という設問です。
学校裁量問題という難関校を目指す生徒たちのなかで正答率が23.1%しかありませんでした。
正解は6本。

(2) 11.1%!

△AKJ∽△AEDより、KJ:ED=
KJ//ED//FGより、FG=ED=
四角形KFGJは台形(正面からみると左右対称で等脚台形)。
下底FG()=6cmだから、上底KJ()=2cm。
JLは台形の高さにあたる
JK=16√5×2÷(2+6)=
4√5cm

(3) 0.8%!!!

E・C・Hは直方体の頂点、Pだけ変な位置にある。
P方向から四面体PHECを眺めると、左右対称の立体である。
辺PHと面EIGCが交わる点をN、Nの真上にある面BCDE上の点をMとする。
正面方向の長方形BFHDで切断するとCとEが重なり、図中のMNが求められそう。


Nの真下(IGとFHの交点)をOとする。
PF= 5-2=3cm
△PFH∽△NOHにおいてOはFHの中点だから、
中点連結定理でNO=3÷2=1.5cm
MN=5-1.5=3.5cm

MNは△ENC上の辺であり、辺BFと辺DHは△ENCと平行
PをBへ、HをDへ等積変形して立体を変形する。
すると、四面体PHECは正四角錘N-BCDEとなる。
6×6×3.5÷3=
42cm3

コロナで全国的に易化が多いなか、福岡は難しかった。
大問1
計算問題よくできてる◎
(9)円がでてきたら、まず円周角定理を想起。
直径に対する円周角、二等辺三角形の底角。
大問2
(2)モードがオススメ。
示すべき値をかいて大小関係を比較すればOK。
大問3
(3)発想力も求められる。
真ん中の数から等しい距離にある数を狙う。
大問4
(2)既知の情報からどこがわかるか、展開していく。
(3)速さの比の逆比が時間の比であるのを利用。
大問5
(1)変化球のある出し方で正答率がやや落ちた。
(2)等角に印を打つこと!
(3)小さいところの面積比を①とするとやりやすいかも。
大問6
(2)等脚台形は公立でよく出題されている。
(3)難しかった。できなくても問題無し。
正解した0.8%の方、おめでとうございます。
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2021年度 福岡県公立高校入試過去問【数学】解説」への2件のフィードバック

  1. Su

    わかりやすい解説をありがとうございます。
    大問4の(3)の解説で、

    兄が駅までかかる時間は、(10:38-10:05-15)÷2=9分

    の÷2はどうしてですか?

    あと、この文章の、、、

    中学受験の戦法を使わせていただきます(´д`)
    希と兄がすれ違う交点から垂線を下ろす。
    この垂線の距離を移動する時間の比が希:兄=⑤:③
    ③=10分×③/⑧=3・3/4分=3分45秒
    したがって、希と兄がすれちがったのは、10時5分から3分45秒後。
    10時8分45秒

    ③=10分×③/⑧=3・3/4分=3分45秒 の計算がいまいちわかりません。
              ↑この辺り

    すみませんが、教えてください。
    まだここまでしか解いていないので、、、
    また聞くかもしれませんが。

    返信
    1. 家庭教師サボ 投稿作成者

      ブログへのご訪問、ありがとうございます。

      (10:38-10:05-15)÷2=9分
      兄のグラフは等脚台形で左右対称です。
      駅での滞在時間15分を引くと、行きと帰りの時間の合計は18分。
      行きと帰りの時間は同じなので、行きの時間は18÷2=9分となります。

      希と兄の速さの比が3:5なので、時間は逆比で希:兄=⓹:⓷。
      グラフの赤線は、家~希と兄がすれ違った地点までの距離です。
      この距離を希は⓹、兄は⓷の時間をかけて移動します。
      10:05~10:15の10分間が⓷+⓹=⓼なので、
      兄が出発した10:05から、10分×⓷/⓼=8分45秒後に兄と希がすれ違うことになります。

      返信

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