2021年度　栃木県公立高校入試問題過去問【数学】解説

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出題範囲の除外は標本調査。

大問１（小問集合）

（１）　94.2％
－３－（－７）
＝－３＋７＝４

（２）　94.3％
８ａ³ｂ⁵÷４ａ²ｂ³
＝２ａｂ²

（３）　89.4％
ａ＋ｂ²
＝２＋（－３）²
＝２＋９＝11

（４）　82.6％
ｘ²－８ｘ＋16
＝（ｘ－４）²

（５）　63.1％
ａ＝（２ｂ－ｃ）/５
５ａ＝２ｂ－ｃ
ｃ＝－５ａ＋２ｂ

（６）　49.6％
ア：２乗してａになる数をａの平行根という。９の平方根は±３〇
イ：√16は正の数だから、√16＝４×
ウ：√５＋√７≠√12×
エ：（√２＋√６）²＝８＋４√３、（√２）²＋（√６）²＝８×
ア

（７）　73.9％

３本目の平行線をひき、同位角や錯角でおろしていく。
ｘ＝180－64＝116°

＠別解＠

外角定理で、ｘ＝31＋85＝116°

（８）　74.1％
反比例はｘとｙの積が比例定数ａで一定。
ａ＝３×６＝18
ｙ＝18/ｘ

（９）　67.1％
６×６×６÷３＝72ｃｍ³

（10）　79.5％
ｘ²＋５ｘ＋２＝０
因数分解ができないので解の公式を適用。
ｘ＝（－５±√17）/２

（11）　59.8％
傾きａが負なので、グラフは右下。
ｘ＝－１のとき、最大値ｙ＝－２×（－１）＋１＝３
ｘ＝３のとき、最小値ｙ＝－２×３＋１＝－５
－５≦ｙ≦３

（12）　29.6％！
『20分以内でＢに到着』だから、時間で不等式を立てる。
歩いた時間はａ/60分。走った時間はｂ/100分。
ａ/60＋ｂ/100≦20

（13）　85.7％
ＡＢ：ＤＥ＝ＡＣ：ＤＦ
５：４＝２：ｘ
ｘ＝４×２/５＝８/５ｃｍ

（14）　53.0％

菱形を想起する。
ＡＢ＝ＢＣ、ＡＣ⊥ＢＤ、∠ＡＢＤ＝∠ＢＣＤは菱形（または正方形）の場合。
長方形は４角が直角で等しいほか、対角線の長さが等しい。
ウ

大問２（小問集合２）

（１）　34.1％

ＡＣの中点がＰ⇒ＡＣの垂直二等分線。

（２）　61.0％
ａ－ｂが正の数になる→ａ＞ｂ
ａが６のときｂは５通り、ａが５のときｂは４通り、ａが４のときｂ３通り…
５＋４＋３＋２＋１＝15通り
確率は、15/36＝５/12

（３）①　9.8％！（部分正答含41.6％）

↑まずは座標を確定する。
ＡＢ＝４－４ａ

②　
四角形ＡＢＤＣは上底が４－４ａ、下底が９－９ａ、高さが５の台形である。
｛（４－４ａ）＋（９－９ａ）｝×５÷２＝26
13（１－ａ）×５/２＝26　←両辺を÷13
（１－ａ）×５/２＝２
１－ａ＝４/５
ａ＝１/５

大問３（方程式＆データの活用）

（１）　42.8％（部分正答含65.0％）
答案では途中式も記述する。
大きい袋がｘ個、小さい袋がｙ個。
合わせて40個だから、ｘ＋ｙ＝40
２つ目の式はりんごの個数で等式を立てる。
５ｘ＋３ｙ＋57＝７ｘ＋４ｙ
２ｘ＋ｙ＝57…②

ｘ＋ｙ＝40…①
２ｘ＋ｙ＝57…②
②－①で、ｘ＝17
①に代入。ｙ＝40－17＝23
大きい袋…17枚、小さい袋…23枚

（２）①　64.1％
最頻値（モード）は最もあらわれる値。
12分

②　70.6％
５分以上10分未満の度数は６人。
６÷15＝0.4

③　1.7％!!（部分正答含12.2％）
推論問題。

範囲は変わらないので、最小値３と最大値20はいじらない。
15人の中央値は８番目の11分。
これが変わらないということは、11の前か後ろで11を超えないように変動する。
５＋５＝10分
12＋５＝17分
14＋５＝19分
最大値20を超えてはならない。
したがって、10分、17分、19分。

大問４（平面図形）

（１）　12.4％！（部分正答含59.3％）
△ＤＧＥ≡△ＦＧＣの証明。

ＢＣ＝②、ＣＦ＝①とする。
中点連結定理を適用。ＤＥ//ＢＣ、ＤＥ＝１/２ＢＣ
ＤＥ＝②÷２＝①（＝ＣＦ）
錯角で２角が等しい。
１辺と両端角相等で合同となる。

（２）①　47.1％

直角三角形ＯＡＢの内角から辺の比は１：２：√３→ＡＯ＝４ｃｍ
半径ＯＤ＝ＯＢ＝２ｃｍ
ＡＤ＝４＋２＝６ｃｍ

②　9.8％！
半円から△ＢＣＤをひけばいい。

ＢからＣＯに向けて垂線、交点をＥとする。
△ＯＢＥの内角は30°－60°－90°で辺の比は１：２：√３→ＥＢ＝√３
△ＢＣＤは底辺が４ｃｍ、高さが√３ｃｍとなる。
２×２×π×１/２－４×√３÷２
＝２π－２√３ｃｍ²

大問５（数量変化）

（１）　63.3％
３×６÷２＝９ｃｍ²

（２）　26.2％！（部分正答含45.1％）
答案では過程も記述する。
（10、15）→（20、０）
右に10、下に15なので、傾きは－15/10＝－３/２
ｙ＝－３/２ｘ＋ｂ
（ｘ、ｙ）＝（20、０）を代入。
０＝－３/２×20＋ｂ
ｂ＝30
ｙ＝－３/２ｘ＋30

＠余談＠

幾何で考えると切片がすぐ出せる。

（３）　0.4％!!!
図２のグラフの右側がやけに空いているので、そこに付け足す。

四角形ＢＳＣＲがはじめて15ｃｍ²となるのは、ＲがＡＢ（ＳがＤＣ）の中点にきたとき。
Ｐが出発してから、10＋５÷0.5＝20秒後
30秒後に四角形ＢＳＣＲは０ｃｍ²、40秒後に15ｃｍ²となる。
赤い交点が△ＡＰＱと四角形ＢＣＳＲの面積が等しくなるときで、
２つのグラフの変化の割合から中点で交わる。

Ｒは片道20秒、往復で40秒かかるから、
四角形ＢＣＳＲが再び０ｃｍ²となるのは30＋40＝70秒後
その５秒手前である65秒後が３回目の交点。
ｔ＝65

大問６（整数）

（１）Ⅰ　75.9％（部分正答含91.0％）
各シートの最大数は４・８・12…と４の倍数である。
７枚目の最大数…４×７＝28

Ⅱ
１枚目の最大数は76。
76から１を足していく。
足される回数は間の数に注意！
76＋（７－１）＝82

（２）　6.0％!!（部分正答含25.9％）
答案では求める過程も記述する。
最も小さいａをｘとおく。
ａ＝ｘ、ｂ＝ｘ＋25、ｃ＝ｘ＋50、ｄ＝ｘ＋75

ａ＋２ｂ＋３ｃ＋４ｄ＝ａｃ
ｘ＋２（ｘ＋25）＋３（ｘ＋50）＋４（ｘ＋75）＝ｘ（ｘ＋50）
10ｘ＋500＝ｘ²＋50ｘ
ｘ²＋40ｘ－500
＝（ｘ＋50）（ｘ－10）＝０
ｘ＞０から、ｘ＝10

（３）①　0.3％!!!（部分正答含3.3％）

ｎは前問のように考えればいい。
ｍは〇枚目と〇×４が符号するのが最大数なので、
右下の４ｍを決めてから、残りのマスを引き算で埋める。
（４ｍ－３）＋（４ｍ－２）＋（４ｍ－１）＋４ｍ＝16ｍ－６
ｎ＋（ｎ＋25）＋（ｎ＋50）＋（ｎ＋75）＝４ｎ＋150

16ｍ－６＝４ｎ＋150
ｎ＝４ｍ－39

②
ｎ＝４ｍ－39（０＜ｍ＜ｎ≦25）

いろんな攻め方があると思われる。
－39の部分を除外して考えると、ｍが１増えるとｎは４増えていく。
試しに最大数25をｎに代入すると、
25＝４ｍ－39
ｍ＝16で整数になっちゃった(;’∀’)

ここからｍを－１、ｎを－４ずつ減らしていくと、
（ｍ、ｎ）＝（16、25）（15、21）（14、17）（13、13）…
（13、13）はｍ＜ｎの条件に反するので×！
よって、ｎ＝17、21、25

＠別解＠
仮にｍとｎが同数である場合を考えると、
ｎ＝４ｎ－39
ｎ＝13
ちょうど整数なので、（ｍ、ｎ）＝（13、13）のときから、
ｍを＋１、ｎを＋４してｎが25以下の範囲を調べる。