2020年度 埼玉県公立高校入試・学校選択問題【数学】解説

平均55.2点

問題はコチラ→PDFファイル
一般の問題は別ページ。

大問1(小問集合)

(1) 85.7%
1/2(3x-y)-(4x-y)/3
=(9x-3y-8x+2y)/6
=(x-y)/6

(2) 45.6%

整理してから代入

@別解@
x+y=(2+√3)+(2-√3
)=4
xy=(2+√3)(2-√3)=1

先にxとyの和と積を求めてから代入する方法です。
xとyを入れ替えても同じになる対称式とよばれるもので、高校数学で習います。

(3) 76.6%
2(x-2)2-3(x-2)+1 ←(x-2)をXと置き換えてみよう。
=2X2-3X+1
=(2X-1)(X-1) ←戻す。
={2(x-2)-1}{(x-2)-1}
=(2x-5)(x-3)=0
x=5/2、3

(4) 77.2%
x=3、y=-4を代入。
3a-4b=11 …①
3a+4b=-2 …②
①+②
6a=9
a=3/2
①に代入。
3×3/2-4b=11
b=-13/2
b=-13/8
a=3/2、b=-13/8

(5) 64.1%
aをbで割ると、商が1/3以上3以下となる。
最も大きい商から6÷1=6×…6÷2=3〇
最も小さい商から1÷6=1/6×…2÷6=1/3〇
6から調べると2が出た時点で範囲内に収まる
ので、
起こり得ない場合の数の方が少ないように思える。
そこで、全体から起こり得ない場合を引く
◆商が3よりも大きい
4÷1、5÷1、6÷1
◆商が1/3未満
1÷4、1÷5、1÷6
以上、6通り。
商が1/3以上3以下は30通り。
30/36=5/6

(6) 77.5%
反比例の特徴。
ア:反比例はxとyの積が比例定数aになる。2×3=6〇
イ:点対称→上下さかさまにしても同じ形〇 (双曲線という)
ウ:変化の割合=yの増加量/xの増加量。反比例の変化の割合はバラバラ×
エ:反比例はxが増えるとyが減り、xが減るとyが増える。
 これはxが正であっても負であっても同じことがいえる。〇
正解→ウ

(7) 73.6%
母線の長さは3:4:5より5cm。
側面積の扇形の中心角は〔×半径/母線〕で対処しよう。
3×3×π+5×5×π×3/5=24πcm2

(8) 60.5%
昇順に並べると〔5・6・7・8・8・9・10〕
この7人の中央値は8。
8人の中央値は4人目と5人目の平均値なので、
Hが8未満だと中央値は7.5、Hが8以上だと8になる

7人の合計は53回。
平均値が7.5であれば、Hの値は7.5×8-53=7回
平均値が8であれば、Hの値は8×8-53=11回…10回overなので×
よって、Hは7回。

(9) 69.5%(一部正答28.0%)
標本(サンプル)は偏りがないよう、母集団から無作為(ランダム)に選ぶ
ウ・エは『図書室の利用回数の多い順』と特色をつけて選んでいるので×。
調べたいテーマは全校生徒600人なので、3年生に絞っているアも×。
ランダムで選ぶ際に通し番号を付すのはOK→イ

大問2(平面図形)

(1) 73.3%
接線の作図。

接線と半径は垂直で交わる
POを直径とする円を描き、円Oとの交点をQとする。
円周角定理により∠PQO=90°となり、接線と半径が直交する。
①POを結び、垂直二等分線。
②POの中点からグルっと円を描く。
③円Oとの交点とPを結ぶ。

(2) 36.5%(一部正答32.8%)

△ABEと△CDFにおいて、直角+平行四辺形の対辺+(平行→錯角)
=直角三角形の合同条件の1つ、斜辺と1鋭角が等しい=合同!

対応する辺が等しいので、AE=CF
また、∠AEF=∠CFE=90°で錯角が等しい→AE//FC
1組の対辺が平行で、かつ長さが等しいことから、四角形AECFは平行四辺形となる。


大問3(平面図形2)

(1) 92.7%
1.6×7.2/1.8=6.4m

(2) 10.0%!
距離や仰角(ぎょうかく;見上げる角度)を自力で作図する。

A’やB’と同様に、Q’をつくる。
△B’PQ’の内角は30°-60°-90°の直角三角形(辺の比は1:2:√3)。
△A’PQ’より、∠A’PQ’=180-(15+90)=75°
∠A’PB’=75-60=15°
△A’PB’は底角がともに15°で二等辺三角形
B’P=50m
PQ’=50×1/2=25m
よって、PQ=25+1.5=26.5m

@もの足りない方へ…@
ハイレベルな問題をおいて置きます。

市川中学より。はじめは推論問題ですが、(2)が高さを求める問題です。
写真にうつるスカイツリーから富士山の高さを算出します。

早稲田中学より。段差を含んだ影問題。
設定はシンプルですが難問です。

兵庫の名門、甲陽学院中学より。
ドローンで移動しながらピラミッドを照らします(*’ω’*)w

大問4(関数)

(1) 94.8%
y=1/2x2に代入して、AとBの座標を出す。
A(-6、18)→B(4、8)
右に10、下に10なので、傾きa;-10/10=-1
Aから右に6、下に6いくと、切片bは18-6=12
y=-x+12

(2)① 10.3%!(部分正当24.6%)
Pのx座標をtとおき、必要な座標をtで表す。

y=1/2x2より、P(t、1/2t2
R(t、0)
Qのy座標はPと同じで1/2t2
x座標は、y=-x+12に放り込む。
y=12
-1/2t2
(もしくは、ℓの傾きが-1であることから、うえのが等しいので、
OS=12-=12-1/2t2と考えてもいい)
Q(12-1/2t2、1/2t2

正方形の1辺は等しい。
PQ=PRより、
12-1/2t2t=1/2t2
2+t-12
=(t+4)(t-3)=0
t=-4、3(-6≦t≦4ゆえ条件適合)

各々をy=1/2x2に放り込む。
t=-4のとき、(-4、8)
t=3のとき、(3、9/2)

② 1.8%!!(一部正答7.0%)
△BPQと△OPQの面積比が1:3になるときのQ座標を求める。
PQが共通辺なので、これを底辺としたときの高さが1:3になればいい

Qのy座標…8×③/④=6
y=-x+12に代入。
Q(6、6)

PQはx軸に平行な線分。
これをBよりも上に平行移動させる。
②=8
Qのy座標…8×③/②=12
直線ℓの切片にあたる。Q(0、12)
(6、6)と(0、12)


大問5(空間図形)

(1) 77.5%

下は1辺2cmの立方体…2×2×2=8cm3
上は1辺2cmの正四角錘。
△AOBも△AOPも直角二等辺三角形なので、
高さは1:1:√2より、2×1/√2=√2cm。
2×2×√2÷3=4√2/3cm3
よって、4√2/3+8cm3

(2) 23.1%!
ネジレの位置…平行でもない、かつ交わらない。

7本…じゃないよ|д゚)
PCは延長するとAEと交わる。
6本

(3) 0.6%!!!(一部正答0.9%)

面AEGCを正面にして断面図を作成。
BとFはそれぞれAC、EGの中点にくる。
EBとGCを延長し、交点をIとする。
△IBC∽△IEGより、IC:IG=BC:EG=1:2→IC=2cm
△PBQ∽△CIQより、PQ:QC=PB:IC=√2:2

@もの足りない方へ…@
難問をセッティングしておきました。

明大明治中学より。正四角錘の断面です。これも立体を斜にして捉えてみましょう。

今年度の豊島岡女子中学より。切断立方体内部にできる最大立方体の1辺の長さを求める。
ここの空間はいつもエゲツないのですが、今年もエゲツなかった~(;´Д`)

大問1
(2)中学数学の範囲で計算できるが、高校数学にやや片足つっこんでいる。
対称式は和と積がポイント。
(5)起こりえるパターンが30通りもあるが、64.1%が正解!
(8)やや細かい判定事項を含むが、6割が正解。
(12)反比例の特徴。あちらの正答率は62.9%だったが、こちらでは77.5%だった。
(16)標本調査。56.2%(一部正答29.2%)の設問が、学校選択では69.5%(一部正答28.0%)。
大問2
(2)三角形の合同から平行四辺形の証明につなげる。
完全正答は3割ちょい。一部正答を含めると7割弱。
大問3
(2)学校選択では図が与えられなかった。作図力!(`д´)
大問4
(2)②0.6%!!!(一部正答4.9%)→1.8%!!(一部正答7.0%)
PQは動くがBは固定。
ここからPQがBの上にくる場合と下にくる場合に分ける。
大問5
(2)PCを書いてしまいましたか|・ω・` )
(3)どこで平面を捉えるか。
断面が直線に見える平面上で相似図形を探してみよう。

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