2021年度 京都府公立高校入試過去問・前期【数学】解説

問題はコチラ→PDFファイル
出題範囲の除外は三平方の定理と標本調査。

大問1(小問集合)

(1)
(-2)2-(-62)×2/3
=4-(-36)×2/3
=4+24=28

(2)
x-2y-(x-9y)/5
=(5x-10y-x+9y)/5
=(4x-y)/5

(3)
(a+5)(a-3)-(a+4)(a-4)
=a2+2aー15-a2+16
=2a+1

(4)
反比例ではxとyの積が比例定数aで一定。
y=-9×8/3÷4=-6

(5)
2x+3y-5=4x+5y-21=10
2x+3y-5=10
2x+3y=15 …①
4x+5y-21=10
4x+5y=31 …②

①×2-②
 4x+6y=30
-)4x+5y=31
     y=-1
①に代入。2x-3=15
x=9
x=9、y=-1

(6)
外角の大きさを①とおくと、内角の大きさは⑨
外角…180×①/⑩=18°
多角形の外角の和は360°だから、正多角形の外角の数は360÷18=20個
外角の数=頂点の数=辺の本数で20本。

(7)
√9<√10<√16より、3<√10<4。
絶対値は数直線上で原点0からの距離。
-4より大きく、4より小さい整数を答える。整数は負の数や0を含む。
-3・-2・-1・0・1・2・3で7個。

(8)
2-8x-7=0
解の公式。xの係数が偶数なのでb=2b’が使える。
x=4±√23

(9)
推論が絡む資料問題。
昇順に並べると、〔11・12・14・15・21〕。
3番目の中央値が14から15に変わるから、
11~14のいずれかが誤りで、正しい記録nは15以上

総和=平均×個数=15×5=75本
訂正前の総和は、11+12+14+15+21=73本
訂正後で2本多くなる。
2本増やして15以上となるのは、火曜日の14本。
イ、n=14+2=16

大問2(確率)

(1)
全体は5×4=20通り
残った3枚の最小値が3ということは、1と2を抜き取る。
(1、2)(2、1)の2通り。
確率は、2/20=1/10

(2)
素数はバラバラなので書き出しです(´゚ω゚`;)
1~5の数で重複しない2桁の素数は〔13・23・31・41・43・53〕
【13】
1を取り出す。(a=1)
bは残った3枚の最小値。2を取り出せば最小値は3になる。1通り
【23】
2を取り出す。1を取り出せば最小値は3になる。1通り
【31】
3を取り出す。2・4・5を取り出せば1が最小値。3通り
【41】
4を取り出す。2・3・5を取り出せば1が最小値。3通り
【43】
4を取り出す。1・2が残っているので1回の取り出しで3を最小値にできない。×
【53】
5を取り出す。1・2が残っているので1回の取り出しで3を最小値にできない。×
合計8通り。
確率は、8/20=
2/5


大問3(数量変化)

(1)

長さを図に書き込もう。
△CDIは直角二等辺だから、IC=8cm
台形ABCDと長方形EFGHの底辺は16cm。

x=3のとき、y=6×6÷2=18
x=5のとき、y=(2+10)×8÷2=48

(2)
よくある移動なので即答したい。
①0≦x≦4のとき、重なる部分は直角二等辺三角形。
底辺と高さがともに伸びるのでyはxの2乗に比例する。エ

②4≦x≦8のとき、重なる部分は台形。
上底と下底の和は伸びるが高さは一定。(グラフは直線)
原点からy=ax2で始まり、途中で変化の仕方が変わったからこの直線は原点を通らない。
比例しない一次関数。ウ

(3)
出題の仕方がやや変わっている(;´・ω・)
x=2のとき、y=4×4÷2=8
x=3のとき、y=6×6÷2=18
yの増加量は18-8=10
x=3のときのy=18に10×6=60を加え、y=78のときのxを求めればいい

4秒後の直角二等辺が8×8÷2=32なので、左の長方形は78-32=46
この底辺の長さは46÷8=23/4cm
秒速2cmで移動だから、a=4+23/4÷2=55/8

大問4(平面図形)

(1)
四角形AECFが平行四辺形である証明。


平行四辺形であるための5つの条件のうち、
定義である2組の対辺が平行である点を指摘すればOK。
仮定より、AF//EC。
∠AEF=∠CFE→錯角が等しい→AE//FC。

(2)

BE=⑤、EC=②
平行四辺形AECFの対辺は等しい→AF=②
FD=⑤

△ECH∽△ADH∽△FDC
面積比は辺の比の2乗。
△ECH=②×②=【4】
△FDC=⑤×⑤=【25】
△ADH=⑦×⑦=【49】
平行四辺形AECF=【49】-【25】-【4】=【20】
△EBAは底辺が⑤で、対称性から△FDCと合同【25】。
平行四辺形ABCDの面積は【70】。

△GECは平行四辺形AECFの対角線ACとEFで4等分された三角形の1つ。
△GEC=【20】÷4=【5】
四角形CGEH=【5】+【4】=【9】
四角形CGEH:平行四辺形ABCD=9:70


大問5(空間図形)

(1)
円Oの周の長さは12πcm。
円Oの直径は、12π÷π=12cm
円Oの半径は、
12÷2=6cm

球の体積V=4/3πr3
半球なので、÷2を忘れずに。
水の体積は、4/3π×63÷2=
144πcm3

(2)

台形ABCDにE、Fを図示。
BからADに向けて垂線。AD、EFとの交点をG、Hとする。
△ABG∽△EBHより、EH=②×9/12=〇1.5
EF=〇1.5+①=〇2.5
AD:EF=③:〇2.5=6:5

(3)

比を統一すると、AD:EF:BC=⑥:⑤:②
ABとDCの延長して交点をIとする。
△BIC∽△EIF∽△AID
体積比は辺の比の3乗。
水で満たされている台形EBCFの部分は、
⑤×⑤×⑤-②×②×②=【117】でここが容器Xの144πcm3
容器Yは台形ABCDの部分で、⑥×⑥×⑥-②×②×②=【208】
容器Yの体積は、144×208/117=256πcm3

大問6(規則)

(1)

左から2番目は3ずつ増えている。
13

(2)

 2A+B=32 …①
+)A+2B=-8 …②
 3A+3B=24
A+B=8 …③

①-③
 2A+B=32
ー) A+B=8
  A  =24
①に代入。B=8-24=-16
A…24、B…-16

(3)

『m段目の左からm番目』
1段目の左から1番目、2段目の左から2番目をみると…
【22、20、18、16…】
初項が22で、2ずつ減っている。
22-2(m-1)
=24-2m

『m段目の左から2番目』
【-2、20、42、64…】
初項が-2で、22ずつ増えている。
-2+22(m-1)=22m-24
2m段目なので、22×2m-24=44m-24

44m-24=(24-2m)2
44m-24=576-96m+4m2
4m2-140m+600=0
2-35m+150
=(m-5)(m-30)=0
m=5、3
0

例年、難易度の高い前期だが、今年は落ち着いた模様。
大問1
(6)外角と内角で比を用い、2つの和が180°なので外角が算出できる。
外角の大きさから正多角形の頂点の数と辺の本数が分かる。
(7)範囲認定は正確に。
(9)訂正後に中央値を超えるもの→中央値であった15の1個下の14と判断できる。
大問2
(2)頭のなかがごちゃりやすい:;(∩´_`∩);:
無理せず書き出した方が無難だと思う。
大問3
(3)前半はオーソドックスだが、ここで変化がつけられている。
問題文からy=78のときのxの値であることに気付ければ、あとは面積の計算だけ。
秒速は1cmではなく2cmであることに注意(・Д・)
大問4
(2)平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わり、面積を4等分する。
大問5
(2)よくある平面の形式なので慣れておきたい。
(3)体積比は辺の比の3乗。
大問6
(2)マスに埋めて方程式に持ち込む。
(3)やりにくかったと思われる。
マスを埋めてどこの数列に着目すべきか。2m段目の処理
も的確に。
一方の数列は-2ずつ減っていくが、負を2乗すると正になるので該当するmは2つある。
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