2017年度 千葉県公立高校入試【前期】数学解説

平均点51.4点

問題はコチラから→PDFファイル

大問1(計算)-86.3%

(1) 98.8%
(-8)×(-2)
=16

(2) 87.1%
6-(-2)2÷4/9
=6-4×9/4   ←符号注意
=6-9
=-3

(3) 91.8%
2(x-3y)-3(x-4y)
=2x-6y-3x+12y  ←12yの符号注意
=-x+6y

(4) 64.6%
4x-3y=15をyについて解く。
3y=4x-15  ←-3yと15を移項して、左右反転
y=4/3x-5

(5) 90.4%
3√5-√80+√20
=3√5-4√5+2√5
=√5

(6) 84.8%
3x2 +7x+1=0
解の公式を利用する。
x=(-7±√37)/6

大問2(小問集合)-41.7%

(1) 71.1%
選択肢の並びがバラバラだが、三角形に騙されてはならない。
回転体の底面は円となる。エ:円錐

(2) 56.9%
10人のメジアンは5.5人目、つまり5人目と6人目の平均
5人目は23、6人目は24だから、メジアンは23.5。

(3) 45.5%
一次方程式。
父が出発してからx分後に追いついたとすると、
あきこが進んだ距離・・60×14+60x
父が進んだ距離・・200x
これらが等しいので、60×14+60x=200x
x=6 →6分後
—————
中学受験経験者であれば旅人算でも対処できますね。
14分後にあきこと父は、60×14=840m離れている。
同じ方向に進むので、1分あたり200-60=140m差が縮まる。
よって、840÷140=6分後に追いつく。
「父が出発してから」なので14は足さないですよ!

(4) 33.1%!
問題文の文字数が多いが、ようは3枚ひいて順番に箱に入れ、
カードの番号と順番(箱の数字 )が1度だけ等しくなる確率を求める。

1回目だけ等しくなる組み合わせを樹形図で調べる
2回目、3回目も同じなので、カードと箱の数字が1度だけ等しくなる組み合わせは、
3×3=9通り
4枚から3枚ひいて並べる→4×3×2=24通り
よって、9/24=3/8

(5) 1.9%!!
円の作図問題。
中心点がAB上にあったり、円がℓと接していたり、Bが円周上にくるなど、
どれを使えばよいのかわからず、もどかしい気分にさせられる。
 
完成図を予想して、実際に描いてみよう。
円の内部に拘泥(こうでい)していると真相は見えてこない。
無駄に広い左側のスペースには意味がある・・。
 
ポイントは「Bが円周上にくる」こと。
中心点がAB上にあり、点Bが円周上にくるということは、
OBは円の半径で、半径はAB上にある。半径と接線は垂直の関係・・ 
接線をひいてみると、もう1つの接線との間の角の二等分線上に円の中心点がくる。
上と下の直角三角形は合同(斜辺と他の1辺が等しい )。内心円でみたことあるはず。
これに気付けたら話は早い。
①接線→②角の二等分線で中心点を求める。

まずはB方向に延長線をひき、Bを通る半直線ABに垂直な線を作成。


ℓとの交点をCとおく。
∠BCAの二等分線と線分ABとの交点が中心点Oとなる。


中心点が見つかる。
問題文で指示されているOはきちんと書くこと!

あとは、OからBまでの距離をとってグルっと1周。
円が汚いのは、ご愛敬。



大問3(関数)-51.7%

(1) 74.2%
毎度お馴染みの傾き問題。
y=1/2x+2のxに4を代入してB座標を求める→B(4、4)
これをy=ax2へ放り込む。
4=42 a=16a
a=1/4

(2) 65.8%
典型的な等積変形
みんな正解してくるので、取りこぼせない。
出来なかった人は基本に立ち返ろう。

x座標に向かってAとBを降下させる。
x座標もわかっているし、切片から高さ2もわかる。
6×2÷2=6cm2

(3) 15.1%
Hを作図
AHの長さとHBの長さの比は、x座標の距離で考える
Hのx座標さえわかれば、正解は目前。

2直線が垂直に交わる → 傾き×傾き=-1
傾き1/2と垂直に交わるので、-1÷1/2=-2

原点を通るから、線分OHは y=-2x
 

OHとABの交点から方程式
-2x=1/2x+2
x=-4/5 ・・Hのx座標
 

x座標の距離を求める。距離計算なので絶対値でね!
AH:2-4/5=6/5
HB:4/5+4=24/5
AH:HB=6/5:24/5=6:24=1:4

大問4(平面図形)-49.5%

(1)問題集で見慣れた形ゆえ、経験を積んでいる人には有利か。
(a)誘導に従う。ウ:∠ACE  92.3%
(b)オ:2辺とその間の角   92.5%
(c)6点―12.1%! 3点―6.0% 無答―45.2%
正三角形の証明→3辺が等しいか、3つの角が等しいことを説明する
辺だとDEが変なところにあるので、角から攻める。
∠ABCは正三角形の内角の1つなので60°
円周角定理から∠ADE=60°
(1)の合同図形からAD=AEなので
(この時点で)△ADEは二等辺三角形であることがわかる。
底角は等しいので、∠AED=60°(図の赤いところは全て60°)
△ADEにおいて、残りの角である∠DAEを計算すると60°
3つの角が全て60°となることから、△ADEは正三角形であるとわかる。

正三角形は特別な二等辺三角形!
一度、二等辺三角形であることを指摘し、
そのうえで正三角形であることを指摘する流れ。

(2) 1.0%!!
もどかしい問題2。
できそうでできない、やれそうでやれない(;´Д`)
しかし、適切な補助線を1本ひいてしまえば、優雅に解答できる。
 
点Aを通り、DCに垂直な線をひく。交点はH
△AHEは正三角形ADEの右半分で、1:2:√3とお馴染みの直角三角形。
AH=√3がわかれば、△AHCで三平方を駆使すれば終わり。
CH=√(32-√3)=√6
よって、CE=√6-1

補助線1本わかれば天国だが、そこに気づくのが難しい、
奥深き幾何(きか)の世界。。



大問5(規則)-19.2%

(1) 38.0%
正六角形の周りに、小さな正三角形を反時計回りに敷き詰めていく規則。
1辺3cmの正六角形であれば図4に1周書き足せば数えられるので、努力で乗り切れる。計算で求める場合は一気に求めようとはせず、6分の1サイズに区切る
初めの正六角形は三角形のタイルではないので、【初】と書いてある。
60°ずつ6つにカッティング。1切れを数えて6倍すればいい


1切れをピックアップ。【初】を上にもってきた。
すると、x段目までの△の枚数は、xの平方数であることに気付く
【初】は正六角形の一部なので三角形のタイル数としてカウントしてはならない
 
1辺3cmの場合、1切れあたりの三角形の枚数は、3×3-1=8個
全体で、8×6=48個

(2) 26.7%!
上の規則に気付ければ、快速で求められる。
三角形のタイルが144枚なので、正六角形の【初】まで含めると、
144+6=150枚分の△がある。
1切れあたり、150÷6=25個
25=5×5だから、大きい正六角形の1辺は5cmとなる。

(3)① 8.0%!
1辺8cmなので、1切れあたりの三角形のタイルは8×8-1=63個
全体で、63×6=378枚
「赤→緑→緑→青→青→青」で1周するので、
378÷6=63周する。
1周あたり、緑は2枚だから、
2×63=126枚

②  4.2%!
最も使用する色は青なので、青に着目する
1周あたり青は3枚だから、400÷3=133周・・余り青1枚分
つまり、三角形のタイルは、6×133+4(赤緑緑青)=802枚
【初】の部分を含め、△の枚数は802+6=808
6枚中3枚が青なのだから、青の合計が400枚ならばト-タルで800枚程度ですね
 
表にまとめて数えてもよいが、慣れている人は計算で求めてみよう。
最も大きい正六角形の1辺の長さを〇cmとおくと、
〇×〇×6<808(ただし、〇は最も大きい自然数)
〇×〇<134・・

11×11=121、12×12=144だから、
〇=11
よって、11cm。

合同図形は全体ではなく、一部で考える。
三角形のタイルの枚数≠△の枚数(はじめの正六角形はタイル数に含まれない
△の枚数は平方数で求める。
(1)~(3)まで一貫する規則。すべて見つけられたら、実力者ですな(・∀・)

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