2022年度　滋賀県公立高校入試問題過去問【数学】解説

平均42.3点（前年比；＋4.3点）

問題はコチラ→ＰＤＦファイル

大問１（小問集合）

（１）　83.9％
12－６÷（－３）
＝12＋２
＝14

（２）　84.5％
１/２ａ－４/３ａ
＝－５/６ａ

（３）　66.0％
－４Ａ＋３Ｂ＋２Ａ
＝－２Ａ＋３Ｂ　←ここで代入
＝－２（４ｘ－１）＋３（－２ｘ＋３）
＝－８ｘ＋２－６ｘ＋９
＝－14ｘ＋11

（４）　60.7％
－15ａ²ｂ÷３ａｂ²×（－２ｂ）²
＝－15ａ²÷３ａｂ²×４ｂ²
＝－20ａｂ

（５）　54.7％
（√２－√３）²＋√６
＝２－２√６＋３＋√６
＝５－√６

（６）　74.1％
ｘ²＝ｘ＋12
ｘ²－ｘ－12
＝（ｘ＋３）（ｘ－４）＝０
ｘ＝－３、４

（７）　52.1％
ｙ＝－３ｘ²は上に凸のグラフ。
ｘ＝－４のとき、最小値ｙ＝－48
ｘ＝０のとき、最大値ｙ＝０
－48≦ｙ≦０

（８）　60.7％
５枚から２枚取る→₅Ｃ₂＝10通り
積が２の倍数でもない、かつ３の倍数でもないということは、
いずれの倍数でもない（５、７）のペアしかない。
確率は１/10。

（９）　65.6％

10～20ｍの階級の相対度数が等しい。
⇒度数の合計に対する10～20ｍの度数の割合が等しい。
【66/220＝ア/60】
ア＝66×60/220＝18

大問２（関数）

（１）ａの値：59.3％、３ａ＋ｂの値：37.6％
直線が右下なので、傾きａは負の値。
問題は３ａ＋ｂ…(;´･ω･)

切片が０より上にあるのでｂは正の値。
ａ＞０、ｂ＜０とちぐはぐの条件で３ａ＋ｂの符号をどう求めればよいのか。。
なんとなく傾きが45°以上だからａ＜－１っぽく、ｂ＜２っぽいので、
負の値の気もしなくもないが・・(;´･ω･)

ａｘ＋ｂと３ａ＋ｂを並べてみる。

ｘ＝３のときのｙの値が３ａ＋ｂである。

ｘ＝３のときは負なので、３ａ＋ｂは負の値となる。
ａの値…負の値　３ａ＋ｂ…負の値

（２）　27.7％！

傾きは緩くなっている。
傾きを大きくすると直線は反時計回りにまわる。
切片ｂは下に移動しているので小さくなっている。
解答…ａの値は大きくする、ｂの値は小さくする

（３）　8.4％!!

三角形となるＡの位置を定める。
ＣＢの延長線上にＡがあると、点ＢがＡＣ上にきて△ＡＣＤになる。
もう１つはＢＤ上にＡ’があると、△ＢＣＤになる。

Ｂ（１、２）⇒Ｃ（４、０）
右に３、下に２なので、傾きは－２/３。
ｙ＝－２/３ｘ＋ｂに（ｘ、ｙ）＝（４、０）を代入すると、
０＝－２/３×４＋ｂ
ｂ＝８/３

Ａはｙ＝－ｘとｙ＝－２/３ｘ＋８/３の交点。
－ｘ＝－２/３ｘ＋８/３
－３ｘ＝－２ｘ＋８
ｘ＝－８
Ａ（－８、８）

Ａ・Ｂ・Ｃのｘ座標の差から、
ＡＢ：ＢＣ＝９：３＝③：①
Ｓ（△ＢＣＤ）：Ｔ（△ＡＣＤ）
＝ＢＣ：ＡＣ
＝１：４

（４）　4.0％!!
説明問題。

方針は立てやすい。
面積が等しいといえば等積変形！
傾きを調べてみると、ＡＣとＤＢの傾きはいずれも１でＡＣ//ＤＢ。
等積変形で△ＡＤＣ＝△ＡＢＣ。
これらから共通部分△ＡＲＣを控除すると△ＲＡＤ＝△ＲＢＣとなる。

大問３（方程式&空間）

（１）　70.6％
友人の人数をｘ人として、ロールパンの数で等式を立てる。
余りは引き、不足分は足して帳尻を合わせる。
４ｘ－９＝６ｘ＋５
ｘ＝７
７人

（２）計算式―16.6％！、解答―27.4％
答案では求める過程も記述する。
求めたい食パンをｘ斤、ロールパンをｙ個とする。
留意点はロールパンは６個分の分量なので、
これを１個あたりになおすと小麦粉150/６ｇ、バター10/６ｇになる(;´･ω･)
小麦粉で等式。
300ｘ＋150/６ｙ＝1500　…①
バターで等式。
10ｘ＋10/６ｙ＝80　…②

①を整理すると、12ｘ＋ｙ＝60　…③
②を整理すると、６ｘ＋ｙ＝48　…④
これを解くと、ｘ＝２、ｙ＝36
食パン…２斤、ロールパン…36個

＠余談＠

本問は記述式なので仕方ないですけど、方程式の計算が面倒臭い(;^ω^)
解答が答えのみだった場合、なんとか回避できないものか。。

食パン１斤の小麦粉が300ｇなので、最大で1500÷300＝５斤つくれる。
ということは、食パンは１～４斤のいずれかなので全部調べてしまうのも手。

小麦は±300ｇ、バターは±10ｇの増減。
ロールパンのなかで小麦：バター＝150：10＝15：１となる組み合わせは、
食パンが２斤のときである。

（３）　0.6％!!!

求めたいＦＨの対角線とする直方体を描く。
１辺がａ、ｂ、ｃの直方体の対角線→√（ａ²＋ｂ²＋ｃ²）
直方体の奥行きは、ＤＨ－ＢＦ＝１ｃｍ
ＦＨ＝√（12²＋12²＋１²）
＝√289＝17ｃｍ

大問４（平面図形）

（１）　44.9％
半径２ｍの半円。
２×２×π÷２＝２πｍ

（２）　3.3％!!
ＣＰとＤＱを１辺とする三角形の合同、
すなわち、△ＡＰＣ≡△ＡＱＤを証明すればいい。

正三角形ＡＰＱの１辺より、ＡＰ＝ＡＱ
正三角形ＡＢＣの１辺と仮定より、ＡＣ＝ＢＣ＝ＡＤ
ＡＤ//ＢＣの錯角で∠ＢＣＡ＝∠ＤＡＣ＝60°
∠ＰＡＣ＝60－∠ＣＡＱ＝∠ＱＡＤ
２辺とあいだの角が等しいから△ＡＰＣ≡△ＡＱＤ
対応する辺の長さは等しいのでＣＰ＝ＤＱ

（３）　8.8％!!

Ａは赤、Ｂは黒、Ｃは青を移動する。
ＢＰとＰＱとＱＤが一直線になれば、Ａ・Ｂ・Ｃが移動する距離の和が最も短くなる。
△ＡＰＱをもう少し時計回りにまわすとまっすぐになりそう。

ＡＤ//ＢＣ、ＡＤ＝ＢＣより、四角形ＡＢＣＤは１組の対辺が平行でかつ長さが等しい
⇒平行四辺形ＡＢＣＤ
さらに、正三角形ＡＢＣからＡＢ＝ＡＤで隣り合う辺が等しい
⇒菱形ＡＢＣＤ
ＢＤは菱形ＡＢＣＤの対角線である。

ＡＣとＢＤの交点をＯとする。
菱形の対角線は直交するので∠ＡＯＢ＝90°
△ＡＢＯは内角が30°—60°—90°で辺の比は１：２：√３。
ＢＤ＝２ＢＯ＝（４×√３/２）×２＝４√３ｍ

（４）　0.9％!!!
先生のアドバイスによると、∠ＡＰＢ＝∠ＢＰＣ＝∠ＣＰＡ＝120°のときに
ＡＰ＋ＢＰ＋ＣＰが最短になるらしい(´ﾟдﾟ｀)
正三角形は特別な三角形なので、平凡な三角形でもう一度おさらいします。

△ＡＰＣを反時計回りに60°回転させて△ＡＰ’Ｃ’をつくる。
ＡＰ＋ＢＰ＋ＣＰはＢＰ＋ＰＰ’＋Ｐ’Ｃとなり、
ＢＣ’が一直線になるとき、題意に適するＰが得られる。
△ＡＰＰ’は正三角形なので、∠ＡＰＢ＝∠ＡＰ’Ｃ’＝180－60＝120°
∠ＡＰＣ＝∠ＡＰ’Ｃ’＝120°で、残りの∠ＢＰＣ＝360－240＝120°となる。
ようするに、三角形の内部で120°をつくることがポイントとなる。

△ＡＢＣの外接円を描く。
∠ＢＰＣ＝240°だから、この円周角は120°である。
この円周上かつ△ＢＣＴの内部のどこかにＲがある。

ここで、△ＢＣＴが二等辺三角形であることに着目する。
△ＣＲＢと△ＣＲＴは左右対称で合同。
対応する角で∠ＢＣＲ＝∠ＴＣＲだから、Ｒは∠ＢＣＴの二等分線上にある。

まとめると・・
①中心Ｐから△ＡＢＣの外接円を描く。
②∠ＢＣＴの二等分線。
これらの交点がＲとなる。

＠余談＠

『３つの角の大きさがすべて120°未満の三角形のときに成り立つ』
どうしてかというと、Ａを下へひっぱると∠ＢＰＣは必ず∠Ａより大きくなるので、
仮に∠Ａ＝120°だと∠ＢＰＣ＞120°になってしまう。
つまり、∠ＢＰＣ＝120°となるＰは△ＡＢＣの内部には無い。

＠フェルマー点＠
どうやら数学の世界ではフェルマー点とよぶそうです。
フェルマー点Ｆはいくつかの性質をもっています。

目分量で適当にやったら予想外にうまく描けてびっくり(;^ω^)
まず、△ＡＢＣの各辺を１辺とする正三角形を追記。
この３つの正三角形の外接円はフェルマー点で交わる。
さらに、うえのようにＡＰ、ＢＱ、ＣＲを結ぶとフェルマー点で交わる。
中学生レベルの数学で証明できますので、一考してみてください。

本問ではＢＴを１辺とする正三角形ＢＴＳをつくり、ＡＴとＣＳの交点からもＲを作れる。
ちなみに、∠Ａ≧120°の場合は、頂点Ａがフェルマー点になるらしいです。