2022年度 鹿児島県公立高校入試過去問【数学】解説

問題はコチラ→PDFファイル

大問1(小問集合)

(1)①
4×8-5
=32-5
=27


1/2+7/9÷7/3
=1/2+1/3
=5/6


(√6+√2)(√6-√2)
=6-2
=4


1~99までの3の倍数は、99÷3=33個
1~9までは、9÷3=3個
10~99までは、33-3=30個


2つの三角錐の相似比は1:2。
体積比は相似比の3乗だから1:8。
三角錐A—BCDの体積はA—EFGの
8倍。

(2)
3a-2b+5=0
2b=3a+5
b=(3a+5)/2

(3)
全体は3×4=12通り
√abが自然数になる⇒abの積が平方数
素数7は絶対にない。
A;【2】【22】【2・3】
B;【2・3】【】【23】【32
7は絶対に無い。
【2】×【23
【22】×【32
【2・3】×【2・3】
計3通りで、確率は3/12=1/4

(4)

OCに補助線。
半径より△OBCは二等辺三角形で、∠BOC=180-65×2=50°
xはこれの円周角だから、x=50÷2=
25°

(5)
馬鹿正直に計算すると時間が足りないので、概算で対処する。

5151:11092≒とする。
×13%=0.13
×50%=1
0.13を8倍すると1に近い。

大問2(小問集合2)

(1)
a<0だから上に凸のグラフ。
x=-5のとき、最小値y=25a
x=0のとき、最大値y=0
25a≦y≦0

(2)
平行四辺形になるための条件
①2組の対辺が平行②2組の対辺が等しい③2組の対角が等しい
④対角線がおのおのの中点で交わる⑤1組の対辺が平行かつ長さが等しい
イは⑤が成り立つ。

エが曲者。
∠Aと∠C()を錯角で移動させると、反対側の∠Bと∠D(×)も等しい。
2組の対角が等しいので平行四辺形となる。
イ・エ

@同側内角

錯角や同位角は有名ですけど、図の×の位置にある角を同側内角というらしい。
ℓ//mのとき、同側内角の和は180°になる。


(3)

『3点A・B・Cから等距離にあるP』
3点を通る円の中心点の作図と同じ。
AB、BC、CAのうち、2つの垂直二等分線の交点がPとなる。
すると、桜島にPがくる。
『CをPを回転の中心として180°回転移動したQ』
CPを延長。Pに針を合わせ、PCの長さを反対側に移す。交点がQ。

(4)①
全体の度数は100人で、60分以上の度数の和は40人。
1200×40/100=480人


答案では方程式と計算過程も記述する。
1つ目は度数の和で等式。
x+y=100-(8+27+13)
x+y=52 …①

2つ目は平均値から等式。
総和は階級値を使って求める。
10×8+30x+50y+70×27+90×13=54×100
30x+50y=2260
3x+5y=226 …②

①と②で連立を組む。
これを解いて、x=17、y=35

大問3(関数)

(1)
底辺AB=8-2=6
高さはy座標の差で、12-4=8
△ABCの面積は、6×8÷2=2
4

(2)①

傾きが-1なので右下45°。直角二等辺がでてくる。
Aを通る直線の切片は、4+2=6
Bを通る直線の切片は、4+8=12
6≦2a≦12
3≦a≦6



Qはy=-x+2aとACの交点
ACの式を求める。
A(2、4)⇒C(10、12)
右に8、上に8で傾きはちょうど1。
Aから左に2、下に2移動して、切片は4-2=2
AC;y=x+2

Qの座標を求める。
x+2=-x+2a
x=a-1
y=x+2=(a-1)+2=a+1

Q(a-1、a+1)


答案では求める過程も記述する( ;∀;)
これまでの解答を利用する。

Pのy座標は4。
これをy=-x+2aに代入して、x=2a-4
P(2a-4、4)
前問より、Q(a-1
、a+1)

底辺APの長さ…(2a-4)-2=2a-6
高さ…(a+1)-4=a-3
△APQの面積は、(2a-6)(a-3)×1/2
=1/2(2a2-12a+18)
=a2-6a+9
=(a-3)2

(1)より△ABCの面積は24だから、△APQは24×1/8=3
(a-3)2=3
a-3=±√3
a=3±√3
(2)①より3≦a≦6だから、a=3+√3

@余談@
記述しにくいですけど…最初はこのように解きました。

y=-x+2aとACは45°線で直交する。
△APQは直角二等辺三角形で、これを4つくっつけると面積が12の正方形になる
AP=√12=2√3
Pのx座標は2+2√3。

y=-x+2aの切片である2a=4+(2+2√3)=6+2√3
a=3+√3


大問4(平面図形)

(1)

2つの正三角形に注目して、∠EDF=180-60×2=60°

(2)

∠EBD=∠FDC=60°で同位角が等しいからBE//DF
△BEG∽△FDGで、相似比は12:6=2:1
EG:GD=2:1

(3)
△BDF≡△EDCの証明。
問題集によくでてくる形である。

正三角形の1辺より、BD=ED、DF=DC
正三角形の内角と(1)の∠EDF=60°から、∠BDF=∠EDC=120°
2辺とあいだの角が等しいので合同。

(4)

BFを斜辺とする直角三角形を作っちゃう。
Fの垂線の足をIとする。
△FDCは正三角形なので、これを二等分する△FDIの内角は30°―60°―90°、
辺の比が1:2:√3の直角三角形で、DI=6÷2=3cm、FI=3√3cm
△FBIで三平方→BF=6√7cm

(5)

△BDGと△EHGの形が似てるっぽい
(3)△BDF≡△EDCより対応する角が等しく、
対頂角と合わせると2角相等で、やはり△BDG∽△EHG
対応する辺の比から面積比が出せる。

(2)よりEG:GD=②:①
EG=12×②/③=8cm


∠EDB=∠ACB=60°で同位角が等しく、ED//AC。
△BGD∽△BFCより、BG:GF=BD:DC=②:①
(4)よりBF=6√7cmだから、BG=6√7×②/③=4√7cm

BG:EG=4√7:8=√7:2
面積比は相似比の2乗。△BDG:△EHG=7:4
△BDGは△EHGの7/4倍。

@別解@
つい抜け道を探したくなる(;^ω^)

正三角形FDCの1辺が①。正三角形EBDの1辺が②。
△BGD∽△BFCより、GD=①×2/3=〇2/3
EG=②-〇2/3=〇4/3
 
EG//FCより△EGH∽△CFH
相似比はEG:CF=4/3:1=4:3
△EHGの面積をとする。
HDに補助線。(2)EG:GD=2:1より△DHG=
GH:HF=4:3より△DFH=×3/4=〇1.5

△DGF=〇1.5〇3.5
BG:GF=2:1だから、△BDG=〇3.5×2=
△BDG:△EHG=7:4

大問5(整数)

(1)
【白⇒赤⇒白⇒青】のループ。
13÷4=3ループ…1
余り1は白。
1ループの長さは1+3+1+5=10cmなので、
10×3+1=31cm
白色、31cm

(2)①
難しく考えない。
nは〇枚目。2nは偶数枚になる。
【白⇒赤⇒白⇒青】と続くので、〔白→not白→白→not白…〕が互い違いである。
奇数番目にある白の枚数は
2n÷2=n枚。

nが偶数の場合、2nは偶数nの2倍だから4の倍数。
2nは4の倍数枚→【白⇒赤⇒白⇒青】のループでちょうど終わる(右端は青)。
赤と青は1ループに1枚ずつだから同数枚ある

2n枚のうち、白はn枚。
赤と青の合計は、2n-n=n枚
同数枚なので、赤と青はそれぞれn/2枚。

白1cm、赤3cm、青5cmなので、
1×n+3×n/2+5×n/2
=n+(3+5)×n/2
=n+4n=5n
ア…n、イ…n/2、ウ…n/2、エ…5n


答案では過程も記述する。
nが奇数の場合、2nはループの途中である赤で終わる(右端が赤)。
ということは、赤は青より1枚多い

白の枚数…n枚

赤の枚数…上のような線分図を描くと見えやすい。
赤と青の和がn枚だから、赤は(n+1)/2枚
青の枚数…(n+1)/2-1=(n-1)/2枚

したがって、1×n+3×(n+1)/2+5×(n-1)/2
=5n-1cm


大問1
(1)④算数。
(3)平方数をどう調べていくか。
数値の並びからして2と3の素因数を含む平方数。
(5)概数問題は鹿児島の特徴。
大問2
(2)2つ選べなので消去法も使える。
錯角や同位角が等しいと反対側の角も等しい。
(3)Pが桜島にくるのは狙っている(σ’д’)σ
(4)②後半戦に時間をとられるので迅速に処理したい。
大問3
(2)①切片が2aで風変り…。
45°線から直角二等辺を描いてサッと出す。
②Qはどんな点か→2直線の交点を求める。
③記述が大変(*_*)
前問でQをaで表したので、Pもaで表す。
△APQの面積で方程式。
最後の条件も前問の利用であった。
大問4
(3)問題集で似たようなのをやったことあるはず。
(5)前問のフラグをうまく回収するとすんなり解ける。
迷ったら前問!
大問5
(2)①ここの2nも奇妙…。
全体は偶数枚、白は奇数番目。だから白は全体の半分。
nが偶数だと青まで、奇数だと赤で終わる。
リード文ではさぞ当たり前のように言っているが、なぜそうなるのかが大事。
②赤の枚数でつまづく人がいるかも。(n/2+1)枚ではない。
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