2018年度　千葉県公立高校入試【前期】数学解説

平均５８．５点

問題はコチラから→ＰＤＦファイル

大問１（計算）－85.4％

（１）　97.7％
（－４）＋（－８）
＝－１２

（２）　95.5％
（－３）²＋１２÷（－２）
＝９－６
＝３

（３）　72.4％
２/３（５ａ－３ｂ）－３ａ＋４ｂ
＝10/３ａ－２ｂ－３ａ＋４ｂ
＝１/３ａ＋２ｂ

（４）　81.7％
連立方程式：２ｘ＋３ｙ＝９・・①、ｙ＝３ｘ＋１４・・②
以下、代入法を採用。
②を①へ放り込む。
２ｘ＋３（３ｘ＋１４）＝９
２ｘ＋９ｘ＋４２＝９
１１ｘ＝－３３
ｘ＝－３
②へ放り込む。
ｙ＝３×（－３）＋１４＝５
したがって、ｘ＝－３　ｙ＝５

（５）　85.9％
２√２７－６/√３
＝２・３√３－２√３　←有理化
＝４√３

（６）　79.4％
（ｘ＋３）（ｘ－５）＋２（ｘ＋３）
（ｘ＋３）が共通するので、これをＸとおくと・・
Ｘ（ｘ－５）＋２Ｘ　　　←共通因数Ｘでまとめる
＝Ｘ（ｘ－５＋２）　　　←Ｘを（ｘ＋３）に戻す
＝（ｘ＋３）（ｘ－３）

大問２（小問集合）－55.9％

（１）　78.3％
反比例の一般式は、ｙ＝ａ/ｘ
これに代入して、比例定数ａを求めるだけ。
６＝ａ/３　　←両辺を３倍
ａ＝１８　　よって、エ。

（２）　75.8％
１７０ｃｍ以上は、５＋６＋１＝１２人
１２/３０。これを百分率になおせばいい。
１２×100/30＝４０％

（３）　40.0％
三角柱の高さは６ｃｍ。
底面積は底辺がわかっているので、あとは高さを求めればいい。
形が直角三角形なので、三平方を使用。
底面積の高さ・・√（８²－６²）＝√２８＝２√７ｃｍ
三角柱の体積は、６×２√７×１/２×６＝３６√７ｃｍ³

（４）　47.8％
素数は、【２・３・５・７・１１】（出目の和の最大が12なので11まで）
【２】・・（1,1）
【３】・・（1,2）（2,1）
【５】・・（1,4）（4,1）（2,3）（3,2）
【７】・・教科書でもやるので、６通りと暗記しちゃったほうがいい。
（1.6）（6.1）（2.5）（5.2）（3.4）（4.3）　←サイコロの対面の和
【１１】・・（5.6）（6.5）
まとめて１５通り　　よって、１５/３６＝５/１２

（５） 　37.4％
いつも荒ぶることで有名な千葉の作図が、今年はだいぶ大人しい設問に。
適当な正方形ＰＢＱＲを書いてみて、何が使えそうかを考えてみる。
正方形の辺ではなく、対角線に着目しよう。
ＰやＱに目がいきがちだけど、はじめに決まるのはＢのはす向かいにあるＲ。
対角であるＲは、角Ｂの２等分線上にある。

↑針をＢにセッティングして、↑→にピョコピョコ。
そこから交差するように線を残し・・

↑Ｒ確定。これに気がつければ、正解したも同然。

↑Ｒを通るＢＣに垂直な線分。ＢＣ上にある、Ｑが確定する。

↑Ｑが確定したら、正方形の一辺は等しいので、
ＢＱかＱＲの長さをとり、針をＢかＲにセッティングしてＡＢとの交点をつくる。
→Ｐ確定

公式解答の２つ目は、対角線ＢＲの垂直二等分線でＰＱを一気に求めている。
理由は、正方形の対角線は垂直かつ二等分で交わるから。

大問３（関数）－39.8％

（１）　85.5％
Ａ（１、２）
これをｙ＝ａx² に放り込む。
２＝１ａ　　ａ＝２

（２）①　27.9％！
ＣＤは平行四辺形の一辺なので、平行四辺形の４つの頂点の座標に狙いを定める。
　
直線ＯＢは原点を通る比例。
Ａ（１、２）で、ＯＡ：ＯＢ＝１：４ということは、
Ｂの座標はＡの座標の４倍→Ｂ（４、８）
　
直線ｍはｘ軸と平行なので、Ｃのｙ座標も８
Ｃのｘ座標は・・８＝2・ｘ²　ｘ＝±２
Ｃのｘ座標は負なので、ｘ＜０　ｘ＝－２　→Ｃ（－２、８）
　
Ｄも次の問題で使うので求めておく。
ＢＣの距離が６だから、ＯＤの距離も６→Ｄ（－６、０）
まとめるとこんな感じ↓

ＯＢとＤＣは平行だから、傾きも一緒。
ＯＢの傾き→ＯＡの傾き→右に１、上に２だから、傾き２。
ＤＣの傾きは２。
　
一次関数：ｙ＝ａｘ＋ｂの式をＣかＤの座標に放り込み、切片ｂを求める。
以下、Ｄに代入。
０＝２×（－６）＋ｂ　　ｂ＝１２
よって、直線ＣＤの式は、ｙ＝２ｘ＋１２

（２）②　6.1％!!
平行四辺形ＯＢＣＤをピックアップ。

ＯＡ：ＡＢ＝①：③とおく。
対辺のＤＣは④となる。
平行四辺形ＯＢＣＤの面積は□８、台形ＯＡＰＤの面積を□３とおくと、
残りの台形ＡＢＣＰの面積は□５となる。

台形同士の面積比は【上底＋下底】
（平行線は高さが同じで、上と下の辺の合計値が台形の面積比となるから）
これを利用すると・・

青の両側の和：赤の両側の和＝３：５
赤青の両側（対辺の全体）が⑧なので、
青の両側の和は、⑧×３/８＝③
つまり、青のＯＡ＋ＤＰ＝③
ＯＡ＝①だから、ＤＰ＝③－①＝②
ＰＣ＝ＤＣ－ＤＰ＝④－②＝②

すると、ＤＰ：ＰＣ＝②：②＝１：１となり、ＰがＤＣの中点であることがわかる。
ＤとＣの座標から、Ｐ（－４、４）となる。

青の左側ＤＰが○のいくつかを知るには、青の右側ＯＡが①とわかっているので、
【青の左側＋右側の合計が○のいくつか】を知ればいい。
右と左の和を一体として捉える。ここで、台形の面積比を用いる。

大問４（平面図形）－45.1％

（１）誘導に従う。
ａ・・∠ＢＡＤと∠ＥＣＤの関係　→　錯角　ア　　　85.2％
ｂ・・∠ＡＤＢと対頂角にある角　→　∠ＣＤＥ　カ　 96.8％
ｃ：証明の完成。６点－23.1％！　３点－11.4％　無答－33.4％
△ＢＥＦが二等辺三角形であることを証明したい。
思いつきやすいのは、２辺か、２つの底角のいずれが等しいこと。
とりあえず、等しいところに記号がふってみる。

↑ＦＢ＝ＦＥか、∠ＦＢＤ＝∠ＦＥＤのどちらかを説明したい。
いずれにせよ、△ＢＤＦと△ＥＤＦの要素なので、
△ＢＤＦ≡△ＥＤＦであることを示せばよい。
　
道筋は立てやすいでしょう。
ＢＤ＝ＥＤ、共通辺ＤＦ、その間が直角→２辺と間の角が等しい。
△ＢＤＦ≡△ＥＤＦ → 辺か底角が等しいことを述べる。

（２）　6.0％!!
円がないのに、円の半径を求めさせる。

ここで、おや？っと気付く。
線分ＡＣからの距離がＢとＧで等しい。
つまり、ＧはＢの真下にある。
ＢＧをつなげる。

∠ＢＧＦ＝９０°
これはありがたい。
”直角三角形の斜辺の中点は、３つの頂点を通る円の中心点”なので、
３点ＢＦＧを通る円の中心は、ＢＦの中点にくるとわかる。
直径のＢＦを知りたい。
ＧＦをｘとおく。
△ＢＥＦは二等辺→ＦＥ＝ＦＢより、ＦＢ＝ｘ＋８
△ＢＧＦで三平方。
（ｘ＋８）²＝１２²＋ｘ ²
ｘ²＋１６ｘ＋６４＝ｘ²＋１４４
１６ｘ＝８０
ｘ＝５
　　　
ＢＦ＝５＋８＝１３
半径ＯＢ＝１３/２ｃｍ

＠別解＠

ＧＦの長さは相似でも求めることができる。
直角三角形ＤＥＦ内で、等しい角度に印をつける。
●＋×＝９０なので、△ＥＣＤと△ＤＣＦは２角が等しく相似。
ＥＣ：ＣＤ＝ＤＣ：ＣＦ＝４：６
ＣＦ＝６×６/４＝９ｃｍ
ＧＦ＝９－４＝５ｃｍ
△ＢＧＦは５：１２：１３の直角三角形となる。→ＢＦ＝１３ｃｍ
直角三角形は相似の宝庫！

大問５（規則）－61.0％

問題がシンプルなので、とっつきやすい。
（１）
青→白の順に増えていく。
ア・・９　95.7％　イ・・１２　93.3％

（２）　74.7％
７番目まで埋めてみる。

青は【１、１、４、４、９、９、１６・・】
平方数が２連続する。２つの平方数を〔１セット〕と考える。
青が３６枚なので、３６＝６×６　（青の枚数＝セット数×セット数）
つまり、６セット目に入ったときに青がはじめて３６枚となる。
５セット＋１をすればいい。
２×５＋１＝１１番目
　
１２番目は３６の２回目。題意に適さない。
1つの違いが命取り。

（３）　34.9％
総枚数の規則。
【１、３、６、１０、１５・・】
連続する整数枚を紙の下に並べていくので、＋１、＋２、＋３・・
（表より図２をみた方がわかりやすい）
ｎ番目の総枚数は、ｎまでの総和となる。
３０番目は、１～３０までの和。
（１＋３０）×３０×１/２＝４６５枚

（４）　6.3％!!
総枚数が１２７５枚となったときをｎ番目とおく。
前問と同様。（１＋ｎ）×ｎ×１/２＝１２７５
ｎ²＋ｎ－２５５０＝０

ｎの係数が１で2550の符号が負であるから、
（ｎ＋〇）（ｎ－△）＝０で、〇と△の差は１である。
2550を素因数分解すると、２×５×５×５１
５１が曲者なので、【２×５×５、５１】→【５０、５１】と処理できる。
ｎ²＋ｎ－２５５０＝０
（ｎ＋５１）（ｎ－５０）＝０
ｎ＞０ゆえ、ｎ＝５０
　
５０番目までの白紙の枚数を求める。
青の方がわかりやすい規則なので、
総枚数から青をひいて白を出す。
　
５０番目まで平方数の組が、５０÷２＝２５セット
５０番目までの青の枚数は、２５×２５＝６２５枚 （青の枚数＝セット数×セット数）
よって、白の枚数は、１２７５－６２５＝６５０枚

ｎ²＋ｎ－２５５０＝０の因数分解には、やや計算力が問われる。
素因数分解で大きな素数が現れたら、それを除け者にしてみよう。
活路は必ずあるはず。
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