2022年度 三重県公立高校入試・前期選抜過去問【数学】解説

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大問1(小問集合)

(1)
-32+4×(-2)
=-9-8
=-17

(2)
(4x+5)-(x-3)
=4x+5-x+3
=3x+8

(3)
c=(a+b)/5
5c=a+b
b=5c-a

(4)
y=x-3 …①
4x+5y=30 …②

①を②に代入すると、
4x+5(x-3)=30
9x=45
x=5
①に代入。y=5-3=2
x=5、y=2

(5)
√12+1/√3
=2√3+√3/3
7√3/3

(6)
(x+2)2=4x+13
2+4x+4=4x+13
2=9
x=±3

(7)
x=-6のとき、y=-2
x=-3のとき、y=-4
変化の割合=yの増加量÷xの増加量
={-4-(-2)}÷{(-3)-(-6)}
=-2÷3
=-2/3

(8)
球の体積V=4/3πr3
4/3π×33=36πcm3

(9)

∠CAD=90-58=32°
錯角で∠ACB=32°

ADとECの交点をFとする。
折り返しで∠ACF=32°
最後に△ACFで外角定理→x=32+32=64°

(10)

扇形AOCだから、半径AO=COとする扇形の中心OはACの垂直二等分線上にある
問題は∠AOC=110°の作成。
具体的な数値が与えられているときは、その数値からどうやって110を作るかを考える。
180-70=110
70°を活用したい。
△OACが二等辺三角形である点に注目すると、その底角は(180-110)÷2=35°
70÷2=35だから、∠BACを二等分すると∠BAO=∠OCAになり、
二等辺三角形OACの内角が35°―3
5°—110°で∠AOC=110°となる。
∠BACの二等分線が二等辺三角形OACの等辺OAと重なる
①ACの垂直二等分線と②BACの二等分線の交点がO。

大問2(資料問題&方程式)

(1)①
最頻値(モード)は最もあらわれている値。
30~35kgの階級値で32.5kg。


27人の中央値(メジアン)は、(27+1)÷2=14番目
A・Bの中央値は30~35kgの階級に含まれる。
範囲(レンジ)=最大値-最小値
範囲がAとBで同じということは、
Bの45~50kg(イ)には少なくとも1人いる

ア+イ=23-(1+4+3+10)=5
Bの中央値(14番目)は30~35kgの階級にある。
イ=1として上から数えていくと、Bの30~50kgの度数は、1+0+10+3=14人
イが2以上だと上から14番目が25~30kgに下がってしまうので不適
イ=1が確定。
ア=5-1=4

(2)①
1000×2×80%+200×7×80%
=(2000+1400)×80%
=2720円


大人の入園料…1000x円
子供の入園料…本来は200y円だが、大人1人につき子供2人が無料なので、
大人x人の場合は子供2x人分が無料となる→有料の子供はy-2x人分。
1000x+200(y-2x)円


前問の解答を利用する。
クーポンAを使う⇒(1000x+200y)×80%
クーポンBを使う⇒1000x+200(y-2x)
これらの金額が等しくなるので、等式で結ぶ。

(1000x+200y)×80%=1000x+200(y-2x)
800x+160y=600x+200y
200x=40y
5x=y
この等式が成り立つのは、大人(x):子供(y)=1:5


大問3(規則&確率)

(1)①

24



4m+8


前問より、F=4m+8=4
(m+2)
ということは、Fは4の倍数である
4の倍数でないイ・オが正解…と思われるが、これはAが偶数mの場合である。
4(m+2)=120のときは、m=28〇
4(m+2)=128のときは、m=30〇だが、
4(m+2)=124のときは、m=29で前提を満たさない!!

奇数ルールの場合を調べてみると、
F=4n+4=4(n+1)=124
n=30で奇数の前提を満たさず×!
124は絶対にない。
イ・ウ・オ

(2)①
m=0のとき、玉は合計で12個。
x=yなので袋AとBで6個ずつに配分する。
玉を6個を移動させる。
和が6の組み合わせは(1、5)(5、1)(2、4)(4、2)(3、3)の5通り。
全体の出目の出し方は6×6=36通り
確率は5/36。


確率が1/12=3/36だから、和の組み合わせは3パターン
2つの和が3パターンになるのは、4か10しかない。
また、袋AとBの玉が同数になるので12+mが偶数mは偶数
◆4個移動させる
x=12-4=8
y=m+4=8
m=4で偶数。〇

◆10個移動させる
x=12-10=2
y=m+10=2
m=-8で不適。×
よって、m=4

大問4(数量変化)

(1)

2秒後の様子。
△BPQ=4×2÷2=4cm2

(2)

変化を確認。
3秒後にPはCにいて、QはCDの中点。6秒後にPとQは同時にDに着く。
△BPQは底辺PQが減少、高さはそのままだから一次関数で減っていき、6秒後に0cm2

CP=2x-6
CQ=x
PQ=x-(2x-6)=-x+6
y=(-x+6
)×6÷2=-3x+18

(3)

0≦x≦3のとき、底辺と高さが同時に増えるからy=ax2で増える。
x=3のとき、y=9
底辺PQが縮んで一次関数で面積は減少していき、x=6のときy=0
6≦x≦9のとき、底辺PQが伸びるので面積は一次関数で増加。
x=9のとき、y=9

(4)

9≦x≦12のとき、底辺PBと高さAQがともに減っていく。
面積はy=ax2で減少し、x=12のときに0cm2となる

PB…1周24cmからPの移動距離2xcmを引いて24-2xcm。
AQ…C~Aの半周12cmからQの移動距離xcmを引いて12-xcm。
(24-2x)(12-x)÷2
=(288-48x+2x2)×1/2
=x2-24x+144=7

2-24x+137=0
解の公式を適用。xの係数が偶数だからb=2b’が使える。
x=12±√(144-137)=12±√7
9≦x≦12より、x=12-√7

@別解@
9秒後に9cm2で、
12秒後に0cm2
3秒間で-9cm2になる。

底辺&高さ共に減少→y=ax2で減少するので放物線を作成。
12秒後を原点0に設定すると、9秒後はその3秒前だから(-3、9)
(-3、9)を通ると
いうことは、グラフの式はy=x2である。

y=7のとき、x=-√7(x<0)
12秒後の√7秒前だから、答えはx=12-√7となる。


大問5(平面図形)

(1)①
△ABD≡△ACEの証明。

正三角形の1辺より、AB=AC、AD=AE
正三角形の内角は60°。あいだの角である∠BAFを引いて、
∠DAB=60-∠BAF=∠EAC
2辺とあいだの角が等しいので合同。

@余談@
△ABDをAを回転の中心として反時計回りに60度回転させると△ACEになる。

②ⅰ

△ABCは正三角形だから、AB=BC=6cm
外角定理より、∠ABD=60+60=120°
①の合同から対応する角で∠ACE=120°
∠BCE=120-60=60°

∠ABC=∠ECB=60°で錯角が等しい!→AB//CE
△ABF∽△ECFより、BF:FC=AB:EC=6:3=2:1
BF=6×2/3=4cm



DF:FC=7:2
△FECの面積を②とすると、△DEFは⑦。

先ほどの△ABF∽△ECFより、AF:FE=2:1
△ACDと△ECDは底辺DCが共通で高さの比が2:1⇒△ACD:△ECD=2:1
四角形ADECの面積は、⑨(△ECD)×【3】=㉗
△FEC:四角形ADEC=
2:27

(2)

おさえておくべき点は、母線:半径の比は中心角の逆比であること!
中心角の比は扇形:円=120:360=1:3
母線(扇形の半径):円の半径は逆比で3:1
底面の円の半径は、9×1/3=3cm
円錐の表面積は、3×3×π+8×8×π×1/3=36πcm2
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