2022年度 聖光学院中学過去問【算数】大問3解説

下の図のような1辺が10cmの正方形ABCDと、
辺CDを両側に5cmずつ延長した直線EFがあります。

この図形上を2点P、Qが同時に出発して、一定の速さで移動します。点Pは、点Aを出発して、正方形ABCDの辺上をA→B→C→D→A→B→・・・の順に繰り返し移動します。また、点Qは点Eを出発して、直線EFをE→F→E→F→・・・と往復します。

(1)
点Pが毎秒2cm、点Qが毎秒5cmで移動するとき、点Pと点Qが初めて重なるのは、2点が出発してから〔 ア 〕秒後、2回目に重なるのは〔 イ 〕秒後です。
ア、イにあてはまる数をそれぞれ答えなさい。

(2)
点Pが毎秒2cm、点Qは点Pよりも速い速さで移動する場合について考えます。点Qが毎秒〔 ウ 〕cmよりも速く、毎秒〔 エ 〕cmよりも遅い速さで移動するときに限り、点Pが1回目に点C、Dを含む辺CD上を移動するときに、点Qと重なることはありません。
ウ、エにあてはまる数をそれぞれ答えなさい。

(3)
点Pが毎秒2cm、点Qは毎秒2cmよりも速く、毎秒4cmよりも遅い速さで移動する場合について考えます。点Pが1回目に辺CD上を移動する間に点Qと重なることがあり、点Pが2回目に点Dに重なるとき、点Qも同時に点Dに重なります。このとき、点Qの移動する速さは毎秒〔 オ 〕cmです。
オにあてはまる数として考えられるものをすべて答えなさい。


@解説@
(1)
PがCに着くのは、20÷2=10秒後

ダイヤグラムを作成。
縦軸はEF20cmで、CとDの位置に横線をひく
Qは20÷5=4秒ごとにEF間を行ったり来たりする。
Pは10~15秒後にCD間のみあらわれる。

三角形の相似を利用。
上の三角形:下の三角形=②:⑤
13~15秒の2秒間を⑦としたときの②の時間は、2×②/⑦=4/7秒
交点の時間は、13+4/7=95/7秒後

2回目にPがCに到着するのは、10×6÷2=30秒後
同様にダイヤグラムを作成して、31-2×①/⑦=215/7秒後
ア…95/7、イ…215/7

(2)

Pの速さは毎秒2cmは固定。Pは10~15秒後にCD上にあらわれる。
Pの直線に触れないように、Qの傾き(速さ)の範囲を求める。

PがCに着く10秒後にQを到着させる。
QはPよりも速いので、Qは一度Fに向かって反射する。
【10秒で35cm移動する→毎秒3.5cm】
Qが毎秒3.5cmよりも遅くなると、Qのジグザクは右に移動してPと重なってしまう

一応、15秒後をチェック。
15秒後は52.5cm移動なので、Eから52.5-40=12.5cmの場所。
→Dに到着したPと重なることはない!〇

念のため、Qの速度を増やして2回反射ではどうか?
【10秒で45cm移動→毎秒4.5cm】
15秒後は、さらに4.5×5=22.5cm移動するので重なる。×
これ以上、反射の回数を増やしてQを速くさせると
PがCDに滞在する5秒間に必ずQと重なってしまうので×。
Qの速さは毎秒3.5cmより大きい。

今度はQがDに到着した場合を想定する。
【15秒で55cm移動→毎秒11/3cm】
これより遅くなるとPと重なってしまう。
したがって、Qの速さは毎秒3.5cmよりも速く、毎秒11/3cmよりも遅い。
ウ…3.5、エ…11/3

(3)
Pは1回目のCD上でQと重なる。
→前問の解答から、Qの速さは毎秒3.5cm以下か、毎秒11/3cm以上であれば良い。

Pが2回目にDに到着するのは35秒後。このとき、PとQは重なる。
ジグザクの反射回数で調べるのは辛いので、QがDに到着するまでの長さを調べる。
【15、25、55、65、95、105、135、145…】
Qの速さは毎秒2cmよりも速く、毎秒4cmよりも遅いから、
Qの移動距離は2×35=70cmよりも長く、4×35=140cmよりも短い。
該当する距離は【95cm、105cm、135cm】。
Qの速さは、、
95÷35=毎秒19/7cm
105÷35=毎秒3cm
135÷35=毎秒27/7cm
これらはすべて、毎秒3.5cm以下か毎秒11/3cm以上の条件に適する
答えは毎秒19/7cm、3cm、27/7cm。
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