2019年度 山梨県公立高校入試問題【数学】解説

平均55.6点(最高100点、最低3点)

問題はコチラ→リセマムさん

大問1(計算)

(1)  98%
6-7=-1

(2)  85%
5/6÷(-2)=-5/12

(3)  97%
(-10)+(-5)2
=-10+25=15

(4)  88%
9/√3+7√3
=3√3+7√3=10√

(5)  85%
8xy2×3/4x=6x22

(6)  95%
x(3x-2
)+2x
=3x2-2x+2x=3x2

大問2(小問集合)

(1)  86%
代入法でやってくださいと言わんばかりの並び。
下を上に代入すると、
2(3y+2)-5y=6
y=2
x=3×2+2=8
x=8、y=2

(2)  85%

△ABCは二等辺→∠ACB=65°
△ECFで外角定理→∠CEF=65-30=35°
対頂角で∠DEA=35°

(3)  77%
ア:y=-x+20(一次関数)
イ:球の表面積;S=4πr2
 y=4πx2(y=ax2
ウ:y=800/x(反比例)
エ:y=3x(比例)
⇒ウ

(4)  70%(部分点2%)
5個から2個取り出す…52=10通り

〔白が含まれている=全体-白が含まれない〕
白が含まれない場合…赤か青の4個から2個取り出す。42=6通り
したがって、白が出ない確率は、1-6/10=2/5

(5)①  65%
10個のメジアン→5番目と6番目の平均。
34と35の平均だから、34.5℃

②  65%
34℃以上36°未満は5個。
相対度数は分数ではなく、小数で求める。
5÷10=0.5


大問3(数量変化)

(1)  72%
BE=BP=xcm
△PBEの面積yは倍々に増えていく(y=ax2)。
図2のグラフから、(10、50)を通るので、
50=102
a=1/2
y=1/2x2

x=4を代入。
y=1/2×42=8

(2)  86%
25=1/2x2
2=50
x>0より、x=5√2
√2=1.41421356…(一夜一夜に人見ごろ)
5√2=5×1.41…=7.05…

(3)①  22%!(無答38%)
△CDE∽△PBEより、BP=1/2xcm
y=1/2x×x1/2=1/4x2
xの値がtのとき、2つのy座標の差が9になった。
1/2t2-1/4t2=9
1/4t2=9
2=36
t>0より、t=6

②  説明;31%!(部分点7%、無答53%)数量23%!
ℓがxの一次関数である理由を述べる。
一次関数⇒y=ax+bの形に変換できる。
ℓ(DB)=10-x=-x+10
y=ax+bの形にできるから一次関数となる。
わりと単純な解答で拍子抜けするが(;^ω^)…基本を忠実に。
@@@
DB以外にxとの関係が1次関数になるのは線分CP
△CDEで三平方をすると、CE=5√5cm
同様に、△PBEで三平方、PE=√5/2x
CP=-√5/2x+5√5で一次関数。

また、比例となるPBも正答扱いになる。(y=1/2x+0)
…ということは、PEも比例なので正答(y=√5/2x+0)。
AB(封筒の縦)の長さは問題文で与えられていないが、
AP=AB-PBで、PB=1/2xだから、
AP=-1/2x+ABで一次関数になる。

大問4(文字式)

(1)  91%
16=4×4
1辺に4枚だから4cm。

(2)  29%!
2次元で書いてみよう。

1辺ncmの正方形の外側に1cm分追加。
2n+1枚

(3)①  5%!!(部分点13%、無答38%)
証明の誤りを指摘する。

1つの囲みにあるシールの枚数は、1辺の正方形の枚数と同じn枚。
囲みの数は、正方形の間の数なのでn-1枚となる。
n×2(n-1)=2n(n-1)枚
*囲みの数をn個ずつとしたままで、式のみ修正した誤答が多かったようだ。

②  23%!
2n(n-1)=180
n(n-1)=90
2-n-90=(n-10)(n+9)=0
n>0から、n=10
正方形の1辺は1cmで10枚だから、10cm。


大問5(平面図形)

(1)  78%(部分点7%)
作図問題。レベルは基本。
①BCの垂直二等分線。交点が中点M。
②AMを引く。

(2)①  16%!(部分点12%、無答30%)
△ADM=△PDMの証明を補完する。

△ADMと△PDMにおいて、共通部分である△DBMに、
それぞれ△ADMと△PDMを足す。
△ADM=△PDMは等積変形から導くが、
なぜ、等積変形は面積が等しくなるのか。この点を補完する。
△ADMと△PDMの《底辺DMは同じで、高さが等しいから》面積は等しくなる。
*部分正当例としては、「高さが等しいこと」と「底辺が共通であること」のいずれかのみの記述。
また、「平行線の錯角が等しいから」という図形の性質を根拠なく用いる誤答も多かった。

②  33%
△ABMと△ABPは高さが等しいので、底辺の比BM:BPがわかればいい。

DM//APから、△BDM∽△BAP(平行線と線分の比)。
BM:BP=BD:BA=2:3
△ABM:△ABP=2:3

(3)  5%!!(部分点0%、無答45%)
前問の考えを利用する。

BCの中点M(0、-4)とAを結ぶ。
Aを通る、OMと平行な線をひき、BCとの交点がP。
OMがy軸なので、APはx=2
M・P・Cのx座標(0・2・4)をみると、PはちょうどMCの中点にくる。
P(2、-5)
OPの式は、右に2、下に5なので、
y=-5/2x

大問6(空間図形)

(1)  82%
弧ABに対する円周角(∠ACB)が45°なので、
その中心角である∠AOB=45×2=90°

(2)  62%
△ABHは三角定規でおなじみの、30°-60°-90°の直角三角形。
1:2:√3より、AH=2×√3/2=√3cm

(3)①  32%!(部分点49%、無答10%)
△AEB≡△DECの証明。

仮定より、AB=DC
この両端角が円周角定理から等しい点を指摘する。

②  6%!!(部分点1%、無答52%)
四角形ABCDは左右対称の等脚台形(跳び箱の形)。
(2)で高さは√3cmと出したので、上底ADと下底BCを求める。

45°-45°-90°の直角二等辺から、高さ√3を下底へ移動。
下底は1+√3cm。
真ん中の長方形の横の長さは√3-1cmとなり、これが上底ADの長さと等しい。
(√3-1+1+√3)×√3÷2=3cm2

③  0%!!!(部分点0%、無答57%)

切り口の半径はPQ。
PO、すなわち、四角錘の高さが判明すれば、△OPQの三平方からPQが出せる。

球の半径がわかっているので、球の体積が求められる。
問題文の体積比から四角錘の体積がでる。
四角錘の底面ABCDの面積は、前問で出した
3cm2
ここから四角錘の高さPOが求められる。

球の体積:4/3πr3
4/3π×(√2)3=8√2/3πcm3
四角錘の体積…8√2/3π×1/4π=2√2/3cm3
四角錘の高さ…3×PO×1/3=2√2/3
PO=2√2/3cm

最後に、△OPQで三平方。
PQ2=(√2)2-(2√2/3)2=10/9
PQ>0から、PQ(円Pの半径)=√10/3cm

正答率0%といっても0.1%は100点を取っているので、何人かは正解している。
最終問題なので、力尽きた人が多かったかもしれない。
時間にゆとりがあるときに解ければOKだと思う(‘ω’)
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